Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Matrices

Andalucía · 2011 · Reserva 3 · Opción B
Enunciado
Opción B · Ejercicio 3. Sea la matrizA=(30λ−5λ−5λ03)A = \begin{pmatrix} 3 & 0 & \lambda \\ -5 & \lambda & -5 \\ \lambda & 0 & 3\end{pmatrix}a) [1 punto] Determina los valores de λ\lambda para los que la matriz   A−2I  \;A-2I\; tiene inversa, siendo II la matriz identidad de orden 33.

b) [1,5 puntos] Para λ=−2\lambda = -2, resuelve la ecuación matricial   AX=2X+I\;AX = 2X+I.
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Resultado
  A−2I=(10λ−5λ−2−5λ01)  \boxed{\;A-2I = \begin{pmatrix} 1 & 0 & \lambda \\ -5 & \lambda-2 & -5 \\ \lambda & 0 & 1\end{pmatrix}\;}  det⁡(A−2I)=(λ−2)(1−λ)(1+λ)  \boxed{\;\det(A-2I) = (\lambda-2)(1-\lambda)(1+\lambda)\;}  a) Tiene inversa  ⟺  λ≠2, 1, −1  \boxed{\;\text{a) Tiene inversa} \iff \lambda\neq2, \ 1, \ -1\;}  b) (A−2I)X=I⇒X=(−130−2354−1454−230−13)  \boxed{\;\text{b) } (A-2I)X = I \Rightarrow X = \begin{pmatrix} -\tfrac13 & 0 & -\tfrac23 \\ \tfrac54 & -\tfrac14 & \tfrac54 \\ -\tfrac23 & 0 & -\tfrac13\end{pmatrix}\;}
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Estrategia

Los dos apartados giran alrededor de la misma matriz A−2IA-2I:AX=2X+I  ⟹  AX−2X=I  ⟹  (A−2I) X=I  ⟹  X=(A−2I)−1AX = 2X+I \;\Longrightarrow\; AX-2X = I \;\Longrightarrow\; (A-2I)\,X = I \;\Longrightarrow\; X = (A-2I)^{-1}(Ojo al sacar factor común: 2X=2IX2X = 2IX, así que AX−2X=(A−2I)XAX-2X = (A-2I)X. No se puede escribir "A−2A-2": restar un número a una matriz no tiene sentido.)

Así que en b) la solución es exactamente la inversa cuya existencia se discute en a).
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Desarrollo

La matriz A−2IA-2I.A−2I=(30λ−5λ−5λ03)−(200020002)=(10λ−5λ−2−5λ01)A-2I = \begin{pmatrix} 3 & 0 & \lambda \\ -5 & \lambda & -5 \\ \lambda & 0 & 3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & \lambda \\ -5 & \lambda-2 & -5 \\ \lambda & 0 & 1\end{pmatrix}a) El determinante. La segunda columna solo tiene un elemento no nulo, así que desarrollamos por ella:det⁡(A−2I)=(λ−2)⋅∣1λλ1∣=(λ−2) (1−λ2)\det(A-2I) = (\lambda-2)\cdot\begin{vmatrix} 1 & \lambda \\ \lambda & 1\end{vmatrix} = (\lambda-2)\,\bigl(1-\lambda^{2}\bigr)det⁡(A−2I)=(λ−2)(1−λ)(1+λ)\det(A-2I) = (\lambda-2)(1-\lambda)(1+\lambda)det⁡(A−2I)=0  ⟺  λ=2,λ=1,λ=−1\det(A-2I) = 0 \;\Longleftrightarrow\; \lambda = 2, \quad \lambda = 1, \quad \lambda = -1Tiene inversa  ⟺  λ≠2, λ≠1  y  λ≠−1\textbf{Tiene inversa} \;\Longleftrightarrow\; \lambda\neq2, \ \lambda\neq1 \ \text{ y } \ \lambda\neq-1b) Con λ=−2\lambda = -2. Como −2-2 no es ninguno de los tres valores prohibidos, la inversa existe:A−2I=(10−2−5−4−5−201),det⁡=(−4)(1−4)=12A-2I = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 \\ -5 & -4 & -5 \\ -2 & 0 & 1\end{pmatrix}, \qquad \det = (-4)\bigl(1-4\bigr) = 12La adjunta. Los cofactores sonA11=∣−4−501∣=−4A12=−∣−5−5−21∣=15A13=∣−5−4−20∣=−8A21=−∣0−201∣=0A22=∣1−2−21∣=−3A23=−∣10−20∣=0A31=∣0−2−4−5∣=−8A32=−∣1−2−5−5∣=15A33=∣10−5−4∣=−4\begin{array}{lll} A_{11} = \begin{vmatrix} -4 & -5 \\ 0 & 1\end{vmatrix} = -4 & A_{12} = -\begin{vmatrix} -5 & -5 \\ -2 & 1\end{vmatrix} = 15 & A_{13} = \begin{vmatrix} -5 & -4 \\ -2 & 0\end{vmatrix} = -8 \\[3mm] A_{21} = -\begin{vmatrix} 0 & -2 \\ 0 & 1\end{vmatrix} = 0 & A_{22} = \begin{vmatrix} 1 & -2 \\ -2 & 1\end{vmatrix} = -3 & A_{23} = -\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ -2 & 0\end{vmatrix} = 0 \\[3mm] A_{31} = \begin{vmatrix} 0 & -2 \\ -4 & -5\end{vmatrix} = -8 & A_{32} = -\begin{vmatrix} 1 & -2 \\ -5 & -5\end{vmatrix} = 15 & A_{33} = \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ -5 & -4\end{vmatrix} = -4\end{array}La inversa (adjunta traspuesta, dividida por el determinante):X=(A−2I)−1=112(−40−815−315−80−4)=(−130−2354−1454−230−13)X = (A-2I)^{-1} = \frac{1}{12}\begin{pmatrix} -4 & 0 & -8 \\ 15 & -3 & 15 \\ -8 & 0 & -4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\tfrac13 & 0 & -\tfrac23 \\[1mm] \tfrac54 & -\tfrac14 & \tfrac54 \\[1mm] -\tfrac23 & 0 & -\tfrac13\end{pmatrix}Comprobación (primera columna de (A−2I)X(A-2I)X):1(−13)+0+(−2)(−23)=−13+43=1  ✓1\left(-\tfrac13\right)+0+(-2)\left(-\tfrac23\right) = -\tfrac13+\tfrac43 = 1 \;\checkmark−5(−13)−4⋅54−5(−23)=53−5+103=5−5=0  ✓-5\left(-\tfrac13\right)-4\cdot\tfrac54-5\left(-\tfrac23\right) = \tfrac53-5+\tfrac{10}{3} = 5-5 = 0 \;\checkmark
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Consejo

Al sacar factor común en AX−2XAX-2X, recuerda que 2X=(2I)X2X = (2I)X: el resultado es (A−2I)X(A-2I)X, con la identidad. Escribir "A−2A-2" es un error conceptual grave.

Desarrolla el determinante por la fila o columna con más ceros. Aquí la segunda columna tiene dos, y el cálculo se reduce a un determinante 2×22\times2.

Los dos apartados van juntos: a) dice cuándo existe la inversa y b) pide calcularla para un valor concreto. Antes de invertir, confirma que λ=−2\lambda = -2 está permitido.
Paso 1 de 3
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