Matemáticas IIDifícilProblema · 2,5 pts

Matrices

Andalucía · 2021 · Reserva 2

Enunciado

Ejercicio 6 (bloque B). Considera las matrices

A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 1 & m & 1 \end{pmatrix} \qquad \text{y} \qquad B = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \\ m & -1 \end{pmatrix}

a) [1 punto] Calcula

m

para que

A\,B

no tenga inversa.

b) [1,5 puntos] Estudia el rango de la matriz

B\,A

según los valores de

m

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a)}\quad A\,B = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1+m & 2m\end{pmatrix}, \quad |A\,B| = 3m + 1 = 0 \;\Longrightarrow\; m = -\frac{1}{3}\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad \operatorname{rg}(B\,A) = 2 \quad \text{para todo valor de } m\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Lo primero es mirar las dimensiones, porque explican todo el ejercicio:

$A$ es $2\times 3$ y $B$ es $3\times 2$ , luego $A\,B$ es $2\times 2$ (cuadrada, puede tener inversa) y $B\,A$ es $3\times 3$ .
Pero $B\,A$ es producto de una matriz de rango $\leq 2$ por otra de rango $\leq 2$ , así que $\operatorname{rg}(B\,A) \leq 2$ siempre: su determinante es nulo para todo $m$ y nunca es invertible.

Eso hace que los dos apartados sean preguntas distintas: en a) hay que resolver

|AB| = 0

; en b) hay que averiguar si el rango es

2

o baja a

1

, y la respuesta —algo inesperada— es que vale $2$ siempre.

Desarrollo

a) El producto $A\,B$ .

A\,B = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 1 & m & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \\ m & -1 \end{pmatrix}

Entrada a entrada:

(1,1): \; 1\cdot 1 + (-1)\cdot 0 + 0\cdot m = 1 \qquad (1,2): \; 1\cdot 1 + (-1)\cdot 2 + 0\cdot(-1) = -1

(2,1): \; 1\cdot 1 + m\cdot 0 + 1\cdot m = 1 + m \qquad (2,2): \; 1\cdot 1 + m\cdot 2 + 1\cdot(-1) = 2m

A\,B = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 + m & 2m \end{pmatrix}

Determinante.

|A\,B| = 1\cdot 2m - (-1)\,(1+m) = 2m + 1 + m = 3m + 1

|A\,B| = 0 \;\Longleftrightarrow\; m = -\frac{1}{3}

Para

m = -\frac{1}{3}

la matriz

A\,B

no tiene inversa.

b) El producto $B\,A$ .

B\,A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \\ m & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 1 & m & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & m - 1 & 1 \\ 2 & 2m & 2 \\ m - 1 & -2m & -1 \end{pmatrix}

(Por ejemplo, la tercera fila: $(m,-1)$ por las columnas de $A$ da $\;m - 1$ , $\;-m - m = -2m$ y $\;-1$ .)

El rango nunca llega a $3$ . El rango de un producto no supera el de sus factores:

\operatorname{rg}(B\,A) \leq \min\bigl\{\operatorname{rg}(B),\, \operatorname{rg}(A)\bigr\} \leq 2

porque

A

tiene solo

2

filas y

B

solo

2

columnas. Por tanto

|B\,A| = 0

para todo $m$ .

¿Es exactamente $2$ ? Basta encontrar un menor de orden

2

que no se anule nunca. Tomando las filas primera y segunda y las columnas primera y tercera:

\left|\begin{array}{cc} 2 & 1 \\ 2 & 2 \end{array}\right| = 4 - 2 = 2 \neq 0

Este menor no depende de $m$ , así que es no nulo para cualquier valor del parámetro.

Conclusión.

\operatorname{rg}(B\,A) = 2 \quad \text{para todo } m \in \mathbb{R}

(Obsérvese el contraste con el apartado a): aunque para $m = -\frac{1}{3}$ la matriz $A\,B$ pierda rango y deje de ser invertible, el rango de $B\,A$ se mantiene en $2$ . Son productos distintos y no tienen por qué comportarse igual.)

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Mira las dimensiones antes de calcular: $A\,B$ es $2\times 2$ y $B\,A$ es $3\times 3$ , así que son matrices completamente distintas. Y como $\operatorname{rg}(BA) \leq 2$ siempre, plantear $|BA| = 0$ para "discutir" el rango no lleva a ninguna parte: esa ecuación se cumple para todo $m$ .

Cuando busques el menor de orden $2$ , elige uno sin parámetro si puedes. Aquí el de las columnas primera y tercera vale $2$ constante, y con eso el apartado se cierra en una línea. Si eliges el de las dos primeras columnas sale $2m+2$ , que se anula en $m=-1$ , y tendrías que buscar otro menor precisamente para ese caso.