Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Sistemas de ecuaciones

Andalucía · 2021 · Julio

Enunciado

Ejercicio 6 (bloque B). Una empresa de mensajería opera en tres rutas distintas A, B y C. Semanalmente hace un total de

70

viajes, y el número de viajes por la ruta B es igual a la suma de los viajes por las rutas A y C.

a) [1,25 puntos] Si sabemos que el doble de la suma de los viajes por las rutas A y C es

70

, ¿podemos deducir el número de viajes por cada ruta? Razona la respuesta.

b) [1,25 puntos] Si el doble de viajes por la ruta C es igual al número de viajes por la ruta B menos

5

, ¿cuántos viajes hace por cada ruta?

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Resultado

\boxed{\;\text{De las dos condiciones iniciales: } y = 35 \; \text{y} \; x + z = 35\;}

\boxed{\;\text{a) No: el dato } 2(x+z) = 70 \text{ es redundante} \;\Longrightarrow\; \text{sistema compatible indeterminado}\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad \text{A} = 20, \quad \text{B} = 35, \quad \text{C} = 15 \text{ viajes}\;}

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Estrategia

El apartado a) es una pregunta de discusión, no de cálculo: hay que darse cuenta de que la información nueva es redundante. Combinando las dos condiciones del enunciado ya se deduce

A + C = 35

, así que el dato "

2(A+C) = 70

" no aporta nada y el sistema queda indeterminado.

Hay que decirlo con el lenguaje de Rouché–Frobenius: dos ecuaciones independientes y tres incógnitas, luego infinitas soluciones.

En b) la nueva condición sí es independiente y completa el sistema, que pasa a ser compatible determinado.

Desarrollo

Incógnitas.

x

y

z

= viajes semanales por las rutas A, B y C, respectivamente.

Condiciones del enunciado (comunes a los dos apartados).

\begin{cases} x + y + z = 70 & \text{(total de viajes)} \\ y = x + z & \text{(la ruta B, igual a A y C juntas)} \end{cases}

Sustituyendo la segunda en la primera:

(x + z) + y = 70 \;\Longrightarrow\; y + y = 70 \;\Longrightarrow\; y = 35

y por tanto

x + z = 35

.

a) El dato adicional. "El doble de la suma de los viajes por A y C es

70

" se escribe

2\,(x + z) = 70 \;\Longrightarrow\; x + z = 35

que es exactamente lo que ya sabíamos. La ecuación es linealmente dependiente de las dos anteriores y no aporta información nueva.

El sistema efectivo es

\begin{cases} x + z = 35 \\ y = 35 \end{cases}

es decir,

\operatorname{rg}(A) = \operatorname{rg}(A^{*}) = 2 < 3

incógnitas: compatible indeterminado.

Conclusión: no, no podemos deducir el número de viajes por cada ruta. La ruta B queda determinada (

35

viajes), pero A y C solo cumplen

x + z = 35

: el sistema tiene infinitas soluciones y, aun exigiendo que los viajes sean números enteros no negativos, quedan

36

repartos posibles (

x = 0

z = 35

x = 10

z = 25

, etc.).

b) La nueva condición.

2z = y - 5 = 35 - 5 = 30 \;\Longrightarrow\; z = 15

Y de

x + z = 35

x = 35 - 15 = 20

x = 20, \qquad y = 35, \qquad z = 15

Comprobación.

20 + 35 + 15 = 70 \quad \checkmark

35 = 20 + 15 \quad \checkmark

2\cdot 15 = 30 = 35 - 5 \quad \checkmark

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Consejo

El apartado a) no se contesta con un número, sino razonando que la información es insuficiente. Y el argumento correcto es que la tercera ecuación es combinación lineal de las dos primeras: eso es exactamente lo que significa que el rango no aumente. Responder "no se puede porque faltan datos" sin justificarlo apenas puntúa.

Fíjate en el atajo: llevando $y = x + z$ a la ecuación del total sale $y = 35$ sin resolver nada. Cuando una ecuación dice que una incógnita es la suma de las otras dos y otra da el total, esa incógnita vale siempre la mitad del total.