Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Sistemas de ecuaciones

Andalucía · 2017 · Reserva 4 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 3. Considera el siguiente sistema de ecuaciones

\begin{cases} 3x + k\,y \phantom{{}+ 2z} = 1 \\ 2x - \phantom{k}y + k\,z = 1 \\ \phantom{2}x - 3y + 2z = 1\end{cases}

del que se sabe que para un cierto valor de

k

es compatible indeterminado.

a) [1,5 puntos] Determina el valor de

k

.

b) [1 punto] Resuelve el sistema para

k = 1

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a)}\quad |A| = (k-1)(k+6): \text{ candidatos } k = 1 \text{ y } k = -6\;}

\boxed{\;k = -6 \Rightarrow \text{incompatible}; \qquad k = 1 \Rightarrow \text{compatible indeterminado} \;\Longrightarrow\; k = 1\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad (x,y,z) = \left(\tfrac{2-t}{5},\; \tfrac{3t-1}{5},\; t\right), \qquad t\in\mathbb{R}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

El enunciado garantiza que existe un valor de

k

que hace el sistema indeterminado, pero no dice cuál. El procedimiento es el habitual:

Calcular $|A|$ y hallar sus raíces: son los candidatos.
Estudiar cada una comparando $\operatorname{rg}(A)$ con $\operatorname{rg}(A^{*})$ . La que dé rangos iguales es la buena; la otra dará un sistema incompatible.

Así que hay que examinar las dos raíces, aunque solo una sea la respuesta.

Desarrollo

Matrices.

A = \begin{pmatrix} 3 & k & 0 \\ 2 & -1 & k \\ 1 & -3 & 2\end{pmatrix}, \qquad A^{*} = \left(\begin{array}{ccc|c} 3 & k & 0 & 1 \\ 2 & -1 & k & 1 \\ 1 & -3 & 2 & 1\end{array}\right)

a) Determinante. Desarrollando por la primera fila:

|A| = 3\,\bigl(-2 + 3k\bigr) - k\,\bigl(4 - k\bigr) + 0

= -6 + 9k - 4k + k^{2} = k^{2} + 5k - 6 = (k-1)(k+6)

|A| = 0 \;\Longleftrightarrow\; k = 1 \quad \text{o} \quad k = -6

Caso $k = -6$ .

A^{*} = \left(\begin{array}{ccc|c} 3 & -6 & \phantom{-}0 & 1 \\ 2 & -1 & -6 & 1 \\ 1 & -3 & \phantom{-}2 & 1\end{array}\right)

Con el menor

\left|\begin{array}{cc} 3 & -6 \\ 2 & -1\end{array}\right| = -3 + 12 = 9 \neq 0

se tiene

\operatorname{rg}(A) = 2

. Orlando con la columna de términos independientes:

\left|\begin{array}{ccc} 3 & -6 & 1 \\ 2 & -1 & 1 \\ 1 & -3 & 1\end{array}\right| = 3\,(-1+3) + 6\,(2-1) + 1\,(-6+1) = 6 + 6 - 5 = 7 \neq 0

\operatorname{rg}(A) = 2 < 3 = \operatorname{rg}(A^{*}) \;\Longrightarrow\; \textbf{incompatible}

Caso $k = 1$ .

A^{*} = \left(\begin{array}{ccc|c} 3 & \phantom{-}1 & 0 & 1 \\ 2 & -1 & 1 & 1 \\ 1 & -3 & 2 & 1\end{array}\right)

Ahora la tercera fila es combinación de las otras dos, término independiente incluido:

2F_{2} - F_{1} = \bigl(4-3,\; -2-1,\; 2-0 \;\big|\; 2-1\bigr) = \bigl(1,\, -3,\, 2 \;\big|\; 1\bigr) = F_{3} \quad \checkmark

La tercera ecuación es, por tanto, redundante. Con el menor

\left|\begin{array}{cc} 3 & 1 \\ 2 & -1\end{array}\right| = -5 \neq 0

\operatorname{rg}(A) = \operatorname{rg}(A^{*}) = 2 < 3 \;\Longrightarrow\; \textbf{compatible indeterminado}

\boxed{k = 1}

b) Resolución con $k = 1$ . Tomamos las dos primeras ecuaciones y

z = t

\begin{cases} 3x + \phantom{2}y = 1 \\ 2x - \phantom{2}y = 1 - t\end{cases}

Sumando:

5x = 2 - t \;\Longrightarrow\; x = \frac{2-t}{5}

Y de la primera:

y = 1 - 3x = 1 - \frac{6-3t}{5} = \frac{3t - 1}{5}

(x,y,z) = \left(\frac{2-t}{5},\; \frac{3t-1}{5},\; t\right), \qquad t\in\mathbb{R}

Comprobación (tercera ecuación):

\;\frac{2-t}{5} - 3\cdot\frac{3t-1}{5} + 2t = \frac{2-t-9t+3+10t}{5} = \frac{5}{5} = 1\;\checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Aunque el enunciado asegure que existe un valor válido, hay que estudiar las dos raíces del determinante: solo una da rangos iguales. Descartar la otra con su justificación (menor orlado no nulo) forma parte de la respuesta.

Al buscar la relación entre filas, no te quedes con la primera combinación que se te ocurra: aquí $F_{3} = 2F_{2} - F_{1}$ , no $F_{2} - F_{1}$ . Si dudas, el argumento de rangos con menores es siempre seguro.

Para resolver, elige dos ecuaciones independientes (las que dieron el menor no nulo) y pasa la tercera incógnita al segundo miembro como parámetro. Comprobar al final la ecuación que has descartado valida todo el proceso.