Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Determinantes

Andalucía · 2013 · Reserva 1 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 3. Sabiendo que el determinante de una matriz

A = \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ p & q & r\end{pmatrix}

4

, calcula los siguientes determinantes indicando, en cada caso, las propiedades que utilizas:

a) [1 punto]

\det(-2A)

\det\bigl(A^{-1}\bigr)

.

b) [1,5 puntos]

\begin{vmatrix} a & -b & c \\ 2d & -2e & 2f \\ p & -q & r\end{vmatrix}

\begin{vmatrix} -3d & -3e & -3f \\ a & b & c \\ -p & -q & -r\end{vmatrix}

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a) } \det(-2A) = (-2)^{3}\cdot4 = -32; \qquad \det\bigl(A^{-1}\bigr) = \frac14\;}

\boxed{\;\text{b}_{1}\text{) } C_{2}\times(-1) \ \text{y} \ F_{2}\times2: \quad = (-1)(2)\det A = -8\;}

\boxed{\;\text{b}_{2}\text{) filas } -3F_{2},\, F_{1},\, -F_{3}: \quad = (-3)(-1)(-1)\det A = -12\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Todo con propiedades, sin tocar las entradas. Llamemos

F_{1} = (a,b,c)

F_{2} = (d,e,f)

F_{3} = (p,q,r)

a las filas de

A

, y

C_{2}

a su segunda columna.

Las propiedades necesarias:

$\det(kA) = k^{3}\det A$ en orden $3$ (afecta a las tres filas).
$\det\bigl(A^{-1}\bigr) = \dfrac{1}{\det A}$ .
Sacar un factor de una fila o una columna lo saca una sola vez.
Cada intercambio de filas cambia el signo.

Desarrollo

a) Los dos primeros.

\det(-2A) = (-2)^{3}\det A = -8\cdot4 = -32

\det\bigl(A^{-1}\bigr) = \frac{1}{\det A} = \frac{1}{4}

b) Primer determinante.

\begin{vmatrix} a & -b & c \\ 2d & -2e & 2f \\ p & -q & r\end{vmatrix}

Aquí hay dos factores que sacar:

la segunda columna está multiplicada por $-1$ ,
la segunda fila está multiplicada por $2$ .

= (-1)\cdot 2\begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ p & q & r\end{vmatrix} = -2\det A = -2\cdot 4 = -8

b) Segundo determinante.

\begin{vmatrix} -3d & -3e & -3f \\ a & b & c \\ -p & -q & -r\end{vmatrix}

Sus filas son

\;-3F_{2}

\;F_{1}

\;-F_{3}

. Sacando los factores

-3

-1

= (-3)(-1)\det\begin{pmatrix} F_{2} \\ F_{1} \\ F_{3}\end{pmatrix} = 3\det\begin{pmatrix} F_{2} \\ F_{1} \\ F_{3}\end{pmatrix}

\bigl[F_{2};F_{1};F_{3}\bigr]

se obtiene de

A

intercambiando las dos primeras filas: cambia el signo.

= 3\cdot(-1)\det A = -3\cdot 4 = -12

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

$\det(-2A) = (-2)^{3}\det A$ , no $-2\det A$ . El factor multiplica las tres filas de una matriz $3\times3$ , y de ahí el cubo.

En el primer determinante de b) hay que sacar dos factores: uno de una columna ( $-1$ ) y otro de una fila ( $2$ ). Sacar solo uno deja el resultado a la mitad o con el signo cambiado.

En el segundo, cuenta bien los signos: dos factores negativos ( $-3$ y $-1$ ) y un intercambio de filas. El enunciado pide nombrar las propiedades, así que escríbelas una a una.