Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Determinantes

Andalucía · 2009 · Reserva 3 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 3. Sean

F_{1}

F_{2}

F_{3}

las filas primera, segunda y tercera, respectivamente, de una matriz

B

de orden 3, cuyo determinante vale

-2

. Calcula, indicando las propiedades que utilices:

a) [0,5 puntos] El determinante de

B^{-1}

.

b) [0,5 puntos] El determinante de

\bigl(B^{t}\bigr)^{4}

(

B^{t}

es la matriz traspuesta de

B

).

c) [0,5 puntos] El determinante de

2B

.

d) [1 punto] El determinante de una matriz cuadrada cuyas filas primera, segunda y tercera son, respectivamente,

\;5F_{1}-F_{3}

\;3F_{3}

\;F_{2}

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a) } \bigl|B^{-1}\bigr| = \frac{1}{|B|} = -\frac12\;}

\boxed{\;\text{b) } \bigl|(B^{t})^{4}\bigr| = |B|^{4} = (-2)^{4} = 16; \qquad \text{c) } |2B| = 2^{3}|B| = -16\;}

\boxed{\;\text{d) } |5F_{1}-F_{3},\,3F_{3},\,F_{2}| = |5F_{1},3F_{3},F_{2}|-\underbrace{|F_{3},3F_{3},F_{2}|}_{=\,0}\;}

\boxed{\;= 15\,|F_{1},F_{3},F_{2}| = 15\,(-|B|) = 15\cdot2 = 30\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Los tres primeros apartados son propiedades directas:

\bigl|B^{-1}\bigr| = \frac{1}{|B|} \qquad \bigl|B^{t}\bigr| = |B| \qquad \bigl|B^{n}\bigr| = |B|^{n} \qquad |kB| = k^{n}|B|

El apartado d) es el interesante y usa tres propiedades de las filas:

Multilinealidad: el determinante es lineal en cada fila (se pueden separar sumas y sacar factores).
Un determinante con dos filas proporcionales vale $0$ .
Intercambiar dos filas cambia el signo.

Desarrollo

a) $\bigl|B^{-1}\bigr|$ . De

B\,B^{-1} = I

se deduce

|B|\cdot\bigl|B^{-1}\bigr| = 1

\bigl|B^{-1}\bigr| = \frac{1}{|B|} = \frac{1}{-2} = -\frac12

b) $\bigl|(B^{t})^{4}\bigr|$ . Usando

\bigl|M^{n}\bigr| = |M|^{n}

\bigl|B^{t}\bigr| = |B|

\bigl|(B^{t})^{4}\bigr| = \bigl|B^{t}\bigr|^{4} = |B|^{4} = (-2)^{4} = 16

c) $|2B|$ . El orden es

n = 3

, así que el escalar sale al cubo:

|2B| = 2^{3}\,|B| = 8\cdot(-2) = -16

d) El determinante de $\bigl(5F_{1}-F_{3},\; 3F_{3},\; F_{2}\bigr)$ .

Paso 1: separamos la primera fila (multilinealidad):

\bigl|5F_{1}-F_{3},\; 3F_{3},\; F_{2}\bigr| = \bigl|5F_{1},\; 3F_{3},\; F_{2}\bigr|-\bigl|F_{3},\; 3F_{3},\; F_{2}\bigr|

Paso 2: el segundo sumando es cero, porque tiene las filas

F_{3}

3F_{3}

proporcionales:

\bigl|F_{3},\; 3F_{3},\; F_{2}\bigr| = 0

Paso 3: sacamos los factores

5

3

de sus respectivas filas:

\bigl|5F_{1},\; 3F_{3},\; F_{2}\bigr| = 5\cdot3\cdot\bigl|F_{1},\; F_{3},\; F_{2}\bigr| = 15\,\bigl|F_{1},\, F_{3},\, F_{2}\bigr|

Paso 4: reordenamos las filas. Intercambiando la segunda y la tercera se recupera

B

, y ese intercambio cambia el signo:

\bigl|F_{1},\, F_{3},\, F_{2}\bigr| = -\bigl|F_{1},\, F_{2},\, F_{3}\bigr| = -|B| = -(-2) = 2

El resultado.

\bigl|5F_{1}-F_{3},\; 3F_{3},\; F_{2}\bigr| = 15\cdot2 = 30

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

$|kB| = k^{n}|B|$ con $n$ el orden: aquí $2^{3} = 8$ , no $2$ . Es la propiedad que más puntos hace perder en este tipo de ejercicio.

En d), la clave es la multilinealidad por filas: separa la suma, anula el término con filas proporcionales, saca los factores y cuenta los intercambios (cada uno cambia el signo).

El enunciado pide indicar las propiedades: escríbelas junto a cada paso. En estos ejercicios la justificación puntúa tanto como el número final.