Opción B · Ejercicio 3. De los datos recabados en un informe sobre los beneficios obtenidos por las empresas A, B y C el pasado año, se desprende lo siguiente: - la empresa B obtiene el mismo beneficio que las empresas A y C juntas; - el beneficio de la empresa A es la media aritmética del de las otras dos. a) [1,5 puntos] Determina si se puede hallar el beneficio de cada empresa sabiendo que A ha obtenido el doble que C. b) [1 punto] Calcula el beneficio de cada empresa sabiendo que entre las tres han obtenido 210 millones de euros.

Matemáticas IIDifícilProblema · 2,5 pts

Sistemas de ecuaciones

Andalucía · 2016 · Reserva 1 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 3. De los datos recabados en un informe sobre los beneficios obtenidos por las empresas

A

B

C

el pasado año, se desprende lo siguiente:

la empresa $B$ obtiene el mismo beneficio que las empresas $A$ y $C$ juntas;
el beneficio de la empresa $A$ es la media aritmética del de las otras dos.

a) [1,5 puntos] Determina si se puede hallar el beneficio de cada empresa sabiendo que

A

ha obtenido el doble que

C

.

b) [1 punto] Calcula el beneficio de cada empresa sabiendo que entre las tres han obtenido

210

millones de euros.

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Resultado

\boxed{\;b = a + c, \quad 2a = b + c \;\Longrightarrow\; a = 2c \quad (\text{consecuencia de las dos})\;}

\boxed{\;\text{a)}\quad \text{"}A = 2C\text{" ya se deducía}: \operatorname{rg} = 2 < 3, \text{ sistema indeterminado} \Rightarrow \textbf{no se puede}\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad (a,b,c) = (2t,3t,t) \text{ con } 6t = 210: \quad 70, \; 105 \text{ y } 35 \text{ millones}\;}

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Estrategia

Dos condiciones y tres incógnitas: de partida el sistema está indeterminado.

La gracia del apartado a) es descubrir que la tercera condición (

A = 2C

) no es información nueva: se deduce de las dos primeras. Por tanto el rango no sube y los beneficios siguen sin quedar determinados.

En b), en cambio, la condición añadida sí es independiente y el sistema pasa a ser compatible determinado.

Desarrollo

Incógnitas (en millones de euros):

a

b

c

los beneficios de

A

B

C

.

Traducción del enunciado.

\begin{cases} b = a + c & \text{(B es lo que ganan A y C juntas)} \\[4pt] a = \dfrac{b+c}{2} & \text{(A es la media de las otras dos)}\end{cases}

Consecuencia de las dos. Sustituyendo la primera en la segunda:

2a = b + c = (a+c) + c = a + 2c \;\Longrightarrow\; a = 2c

a) La tercera condición. El dato "

A

ha obtenido el doble que

C

" es exactamente

a = 2c

, que acabamos de deducir de las dos condiciones iniciales.

\textbf{No aporta información nueva}

En términos de rangos, el sistema

\begin{cases} a - b + \phantom{2}c = 0 \\ 2a - b - \phantom{2}c = 0 \\ \phantom{2}a \phantom{{}- b} - 2c = 0\end{cases}

tiene determinante nulo y

\operatorname{rg} = 2 < 3

: sigue siendo compatible indeterminado.

\textbf{No se puede hallar el beneficio de cada empresa}

La familia de soluciones. Tomando

c = t

a = 2t, \qquad b = a + c = 3t, \qquad c = t

Los beneficios están en la proporción

\;A : B : C = 2 : 3 : 1

, pero su magnitud no queda fijada.

b) La condición del total. Ahora sí se añade información independiente:

a + b + c = 210 \;\Longrightarrow\; 2t + 3t + t = 6t = 210 \;\Longrightarrow\; t = 35

a = 70, \qquad b = 105, \qquad c = 35

\textbf{A: } 70 \ \text{millones}, \qquad \textbf{B: } 105 \ \text{millones}, \qquad \textbf{C: } 35 \ \text{millones}

Comprobación.

b = 105 = 70 + 35 \;\checkmark \qquad a = 70 = \frac{105+35}{2} = \frac{140}{2} \;\checkmark

a = 70 = 2\cdot 35 \;\checkmark \qquad 70 + 105 + 35 = 210 \;\checkmark

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Consejo

La pregunta de a) no es "resuelve", sino "¿se puede?". Hay que comprobar si la nueva condición sube el rango. Aquí no lo hace, porque $a = 2c$ se deduce de las dos anteriores; demostrar esa deducción es la respuesta.

"La media aritmética de las otras dos" es $\dfrac{b+c}{2}$ , no $\dfrac{a+b+c}{3}$ . Traducir mal esa frase cambia todo el sistema.

Que los beneficios queden en proporción $2:3:1$ es toda la información que dan las dos primeras condiciones: falta una escala, y eso es exactamente lo que aporta el total de $210$ millones en b).