Matemáticas IIDifícilProblema · 2,5 pts

Matrices

Andalucía · 2024 · Reserva 2

Enunciado

Ejercicio 5 (bloque C). Considera las matrices

A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ m & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 2 \end{pmatrix} \qquad\text{y}\qquad B = \begin{pmatrix} -4 & 8 & 0 \\ 0 & 4 & 4 \\ 4 & 12 & 20 \end{pmatrix}

a) [0,75 puntos] Determina los valores de

m

para los que la matriz

A^{2}

tiene inversa.

b) [1,75 puntos] Para

m = 0

calcula, si es posible, la matriz

X

que verifica

A^{2}X = \dfrac{1}{2}(A+B)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a)}\quad \bigl|A^{2}\bigr| = (1-m)^{2} \neq 0 \;\Longleftrightarrow\; m \neq 1\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad X = \frac{1}{2}\bigl(A^{-1}\bigr)^{2}(A+B) = \begin{pmatrix} -15 & -\frac{13}{2} & -\frac{77}{2} \\[4pt] 0 & \frac{5}{2} & 2 \\[4pt] \frac{19}{2} & \frac{13}{2} & \frac{53}{2}\end{pmatrix}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

En a) la clave es no calcular

A^{2}

: como

\bigl|A^{2}\bigr| = |A|^{2}

, la matriz

A^{2}

es invertible exactamente cuando lo es

A

. Basta entonces con

|A| \neq 0

, y

|A|

es un determinante

3\times 3

con un parámetro.

En b) se despeja

X = \bigl(A^{2}\bigr)^{-1}\cdot\frac{1}{2}(A+B)

, multiplicando por la inversa por la izquierda. Para calcular

\bigl(A^{2}\bigr)^{-1}

conviene usar que

\bigl(A^{2}\bigr)^{-1} = \bigl(A^{-1}\bigr)^{2}

es decir, invertir

A

(que es más fácil) y elevar al cuadrado, en lugar de calcular

A^{2}

y luego invertirla.

Desarrollo

a) El determinante de $A$ . Desarrollando por la primera fila:

|A| = 1\cdot\left|\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ -1 & 2\end{array}\right| - 0 + 1\cdot\left|\begin{array}{cc} m & 1 \\ 1 & -1\end{array}\right| = 2 + (-m - 1) = 1 - m

Y como

\bigl|A^{2}\bigr| = |A|\cdot|A| = (1-m)^{2}

\bigl|A^{2}\bigr| \neq 0 \;\Longleftrightarrow\; (1-m)^{2} \neq 0 \;\Longleftrightarrow\; m \neq 1

Es decir,

A^{2}

tiene inversa para todo

m \in \mathbb{R}\setminus\{1\}

.

b) La matriz $X$ con $m=0$ . Ahora

A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 2\end{pmatrix}, \qquad |A| = 1 - 0 = 1 \neq 0

así que

A

A^{2}

son invertibles y se puede despejar:

A^{2}X = \frac{1}{2}(A+B) \;\Longrightarrow\; X = \bigl(A^{2}\bigr)^{-1}\cdot\frac{1}{2}(A+B) = \frac{1}{2}\bigl(A^{-1}\bigr)^{2}(A+B)

Inversa de $A$ . Con

|A|=1

, la inversa es directamente la adjunta traspuesta:

A^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & -1 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 1 & 1\end{pmatrix}

(Comprobación: $A\,A^{-1} = I$ ; por ejemplo, la primera fila de $A$ por la primera columna de $A^{-1}$ da $1\cdot 2 + 0\cdot 0 + 1\cdot(-1) = 1$ .)

Su cuadrado.

\bigl(A^{-1}\bigr)^{2} = \begin{pmatrix} 2 & -1 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 1 & 1\end{pmatrix}^{2} = \begin{pmatrix} 5 & -4 & -3 \\ 0 & 1 & 0 \\ -3 & 3 & 2\end{pmatrix}

(Y en efecto $A^{2}\cdot\bigl(A^{-1}\bigr)^{2} = I$ , con $A^{2} = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 3 \\ 0 & 1 & 0 \\ 3 & -3 & 5\end{pmatrix}$ .)

La suma.

A + B = \begin{pmatrix} 1-4 & 0+8 & 1+0 \\ 0+0 & 1+4 & 0+4 \\ 1+4 & -1+12 & 2+20 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 & 8 & 1 \\ 0 & 5 & 4 \\ 5 & 11 & 22\end{pmatrix}

El producto.

\bigl(A^{-1}\bigr)^{2}(A+B) = \begin{pmatrix} 5 & -4 & -3 \\ 0 & 1 & 0 \\ -3 & 3 & 2\end{pmatrix}\begin{pmatrix} -3 & 8 & 1 \\ 0 & 5 & 4 \\ 5 & 11 & 22\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -30 & -13 & -77 \\ 0 & 5 & 4 \\ 19 & 13 & 53 \end{pmatrix}

Y dividiendo entre

2

X = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} -30 & -13 & -77 \\ 0 & 5 & 4 \\ 19 & 13 & 53\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -15 & -\frac{13}{2} & -\frac{77}{2} \\[4pt] 0 & \frac{5}{2} & 2 \\[4pt] \frac{19}{2} & \frac{13}{2} & \frac{53}{2}\end{pmatrix}

Comprobación. Multiplicando,

A^{2}X

reproduce

\frac{1}{2}(A+B)

A^{2}X = \begin{pmatrix} -\frac{3}{2} & 4 & \frac{1}{2} \\[4pt] 0 & \frac{5}{2} & 2 \\[4pt] \frac{5}{2} & \frac{11}{2} & 11\end{pmatrix} = \frac{1}{2}(A+B)

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Consejo

En a) no calcules $A^{2}$ : usa $\bigl|A^{2}\bigr| = |A|^{2}$ . Ahorras media hoja de multiplicaciones y llegas a la misma condición, $m\neq 1$ . Fíjate además en que el cuadrado no añade valores prohibidos: $|A|^{2} = 0$ exactamente cuando $|A| = 0$ .

En b), invertir $A$ y elevar al cuadrado es más rápido y seguro que calcular $A^{2}$ y luego invertirla (aquí $|A| = 1$ , así que la inversa de $A$ es literalmente su adjunta traspuesta). Y no te asustes de las fracciones del resultado: multiplica $A^{2}X$ al final y si sale $\frac{1}{2}(A+B)$ , está bien.