Matemáticas IIDifícilProblema · 2,5 pts

Matrices

Andalucía · 2016 · Septiembre · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 3. Considera

A = \begin{pmatrix} \phantom{-}1 \\ -1 \\ \phantom{-}0\end{pmatrix}, \qquad B = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix} \qquad \text{y} \qquad C = \begin{pmatrix} \phantom{-}1 & \phantom{-}1 & \phantom{-}1 \\ -1 & -1 & -1 \\ \phantom{-}0 & \phantom{-}0 & \phantom{-}0\end{pmatrix}

a) [1 punto] Calcula el rango de

A\,B^{t} + \lambda I

según los valores de

\lambda

(

B^{t}

es la matriz traspuesta de

B

I

es la matriz identidad de orden

3

).

b) [1,5 puntos] Calcula la matriz

X

que verifica

C\,X - X = 2I

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;A\,B^{t} = C, \text{ de rango } 1; \qquad \bigl|C + \lambda I\bigr| = \lambda^{3}\;}

\boxed{\;\text{a)}\quad \operatorname{rg}\bigl(AB^{t}+\lambda I\bigr) = 3 \text{ si } \lambda \neq 0; \qquad = 1 \text{ si } \lambda = 0\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad (C-I)X = 2I \;\Longrightarrow\; X = 2(C-I)^{-1} = \begin{pmatrix} -4 & -2 & -2 \\ 2 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & -2\end{pmatrix}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

El primer descubrimiento es que

A\,B^{t} = C

(la columna

A

por la fila

B^{t}

reproduce exactamente

C

). Además, al ser producto de una columna por una fila, $C$ tiene rango 1.

Para el rango de

C + \lambda I

se calcula su determinante, que resulta ser

\lambda^{3}

: solo se anula en

\lambda=0

, y ahí la matriz es

C

, de rango

1

.

En b), la clave es sacar

X

factor común correctamente:

C\,X - X = \bigl(C - I\bigr)X = 2I \;\Longrightarrow\; X = 2\,\bigl(C-I\bigr)^{-1}

Desarrollo

El producto $A\,B^{t}$ (

3\times 1

por

1\times 3

A\,B^{t} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \phantom{-}1 & \phantom{-}1 & \phantom{-}1 \\ -1 & -1 & -1 \\ \phantom{-}0 & \phantom{-}0 & \phantom{-}0\end{pmatrix} = C

a) Determinante de $C + \lambda I$ .

C + \lambda I = \begin{pmatrix} 1+\lambda & \phantom{-}1 & \phantom{-}1 \\ -1 & \lambda-1 & -1 \\ \phantom{-}0 & \phantom{-}0 & \phantom{-}\lambda\end{pmatrix}

Desarrollando por la tercera fila (dos ceros):

\bigl|C+\lambda I\bigr| = \lambda\cdot\left|\begin{array}{cc} 1+\lambda & 1 \\ -1 & \lambda-1\end{array}\right| = \lambda\bigl[(1+\lambda)(\lambda-1) + 1\bigr]

= \lambda\bigl(\lambda^{2} - 1 + 1\bigr) = \lambda^{3}

\bigl|C+\lambda I\bigr| = 0 \;\Longleftrightarrow\; \lambda = 0

Discusión del rango.

Si $\lambda \neq 0$ : $\;\bigl|C+\lambda I\bigr| \neq 0 \Longrightarrow \operatorname{rg} = 3$ .
Si $\lambda = 0$ : la matriz es $C$ , cuyas filas son todas múltiplos de $(1,1,1)$ :

\operatorname{rg}(C) = 1

\operatorname{rg}\bigl(A B^{t} + \lambda I\bigr) = \begin{cases} 3 & \text{si } \lambda \neq 0 \\ 1 & \text{si } \lambda = 0\end{cases}

b) La ecuación matricial. Sacando

X

factor común por la derecha:

C\,X - X = \bigl(C - I\bigr)X = 2I \;\Longrightarrow\; X = \bigl(C-I\bigr)^{-1}\,(2I) = 2\,\bigl(C-I\bigr)^{-1}

La matriz $C - I$ .

C - I = \begin{pmatrix} \phantom{-}0 & \phantom{-}1 & \phantom{-}1 \\ -1 & -2 & -1 \\ \phantom{-}0 & \phantom{-}0 & -1\end{pmatrix}, \qquad |C-I| = -1 \neq 0

(Es el caso $\lambda = -1$ del apartado a), con determinante $(-1)^{3} = -1\;\checkmark$ )

Su inversa.

\bigl(C-I\bigr)^{-1} = \begin{pmatrix} -2 & -1 & -1 \\ \phantom{-}1 & \phantom{-}0 & \phantom{-}1 \\ \phantom{-}0 & \phantom{-}0 & -1\end{pmatrix}

La solución.

X = 2\,\bigl(C-I\bigr)^{-1} = \begin{pmatrix} -4 & -2 & -2 \\ \phantom{-}2 & \phantom{-}0 & \phantom{-}2 \\ \phantom{-}0 & \phantom{-}0 & -2\end{pmatrix}

Comprobación:

\;C\,X - X = (C-I)X = 2I\;\checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Al sacar $X$ factor común en $C\,X - X$ , hay que escribir $\bigl(C - I\bigr)X$ : la $X$ suelta es $I\,X$ , así que lo que se resta a $C$ es la identidad, no un $1$ . Es el paso conceptual del apartado b).

Que $\bigl|C+\lambda I\bigr| = \lambda^{3}$ tenga una raíz triple no implica que el rango caiga a $0$ : para $\lambda=0$ la matriz es $C$ , de rango $1$ . Hay que sustituir y mirar.

El apartado a) regala el determinante de b): $C - I$ es el caso $\lambda = -1$ , así que $|C-I| = (-1)^{3} = -1$ sin calcular nada. Buscar esas conexiones entre apartados ahorra mucho tiempo.