Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Matrices

Andalucía · 2011 · Reserva 2 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 3. Sean las matrices

A = \begin{pmatrix} \alpha & 1 \\ -\alpha & 3\end{pmatrix} \qquad \text{y} \qquad B = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 1 \\ -1 & 4 & 2\end{pmatrix}

a) [1,25 puntos] Calcula los valores de

\alpha

para los que la matriz inversa de

A

\;\dfrac{1}{12}A

.

b) [1,25 puntos] Para

\alpha = -3

, determina la matriz

X

que verifica la ecuación

\;A^{t}X = B

, siendo

A^{t}

la matriz traspuesta de

A

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;A^{-1} = \tfrac{1}{12}A \iff A^{2} = 12\,I\;}

\boxed{\;A^{2} = \begin{pmatrix} \alpha^{2}-\alpha & \alpha+3 \\ -\alpha^{2}-3\alpha & 9-\alpha\end{pmatrix} = 12I \Rightarrow \alpha = -3\;}

\boxed{\;\text{b) } A^{t} = \begin{pmatrix} -3 & 3 \\ 1 & 3\end{pmatrix}, \ X = (A^{t})^{-1}B\;}

\boxed{\;X = \begin{pmatrix} -\tfrac12 & \tfrac14 & \tfrac14 \\ -\tfrac16 & \tfrac54 & \tfrac{7}{12}\end{pmatrix}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

a) La clave es traducir la condición usando la definición de inversa:

A^{-1} = \frac{1}{12}A \;\Longrightarrow\; A\cdot\frac{1}{12}A = I \;\Longrightarrow\; A^{2} = 12\,I

Se calcula

A^{2}

y se identifican las cuatro entradas.

b) $X = \bigl(A^{t}\bigr)^{-1}B$ . Fíjate en las dimensiones: $A^{t}$ es $2\times2$ y $B$ es $2\times3$ , así que $X$ es $2\times3$ .

Desarrollo

a) La condición $A^{2} = 12I$ .

A^{2} = \begin{pmatrix} \alpha & 1 \\ -\alpha & 3\end{pmatrix}\begin{pmatrix} \alpha & 1 \\ -\alpha & 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha^{2}-\alpha & \alpha+3 \\ -\alpha^{2}-3\alpha & -\alpha+9\end{pmatrix}

Igualando a

12I = \begin{pmatrix} 12 & 0 \\ 0 & 12\end{pmatrix}

\begin{cases} \alpha^{2}-\alpha = 12 \\ \alpha+3 = 0 \\ -\alpha^{2}-3\alpha = 0 \\ -\alpha+9 = 12\end{cases}

De la segunda (la más simple):

\;\alpha = -3

.

Comprobamos las otras tres:

\alpha^{2}-\alpha = 9+3 = 12 \;\checkmark \qquad -\alpha^{2}-3\alpha = -9+9 = 0 \;\checkmark \qquad -\alpha+9 = 3+9 = 12 \;\checkmark

\alpha = -3

Verificación directa. Con

\alpha=-3

\;A = \begin{pmatrix} -3 & 1 \\ 3 & 3\end{pmatrix}

\;\det A = -9-3 = -12

A^{-1} = \frac{1}{-12}\begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -3 & -3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\tfrac14 & \tfrac{1}{12} \\ \tfrac14 & \tfrac14\end{pmatrix} = \frac{1}{12}\begin{pmatrix} -3 & 1 \\ 3 & 3\end{pmatrix} = \frac{1}{12}A \;\checkmark

b) Con $\alpha = -3$ .

A^{t} = \begin{pmatrix} -3 & 3 \\ 1 & 3\end{pmatrix}, \qquad \det A^{t} = \det A = -12

\bigl(A^{t}\bigr)^{-1} = \frac{1}{-12}\begin{pmatrix} 3 & -3 \\ -1 & -3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\tfrac14 & \tfrac14 \\ \tfrac{1}{12} & \tfrac14\end{pmatrix}

Despejando (

A^{t}

multiplica por la izquierda, así que su inversa entra por la izquierda):

X = \bigl(A^{t}\bigr)^{-1}B = \begin{pmatrix} -\tfrac14 & \tfrac14 \\ \tfrac{1}{12} & \tfrac14\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 3 & 1 \\ -1 & 4 & 2\end{pmatrix}

Fila 1:

\;\left(-\tfrac14-\tfrac14,\; -\tfrac34+1,\; -\tfrac14+\tfrac12\right) = \left(-\tfrac12,\; \tfrac14,\; \tfrac14\right)

Fila 2:

\;\left(\tfrac{1}{12}-\tfrac14,\; \tfrac14+1,\; \tfrac{1}{12}+\tfrac12\right) = \left(-\tfrac16,\; \tfrac54,\; \tfrac{7}{12}\right)

X = \begin{pmatrix} -\tfrac12 & \tfrac14 & \tfrac14 \\[1mm] -\tfrac16 & \tfrac54 & \tfrac{7}{12}\end{pmatrix}

Comprobación (primera columna de

A^{t}X

-3\left(-\tfrac12\right)+3\left(-\tfrac16\right) = \tfrac32-\tfrac12 = 1 \;\checkmark \qquad 1\left(-\tfrac12\right)+3\left(-\tfrac16\right) = -\tfrac12-\tfrac12 = -1 \;\checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

No calcules $A^{-1}$ con la fórmula general en a): usa la definición. La condición $A^{-1} = \frac{1}{12}A$ equivale a $A^{2} = 12I$ , y eso da un sistema trivial.

Al igualar matrices se obtienen cuatro ecuaciones: resuelve la más fácil y comprueba las otras tres. Si alguna fallara, no habría solución.

En b), $A^{t}X = B$ se despeja multiplicando por $\bigl(A^{t}\bigr)^{-1}$ por la izquierda: $X = \bigl(A^{t}\bigr)^{-1}B$ , nunca $B\bigl(A^{t}\bigr)^{-1}$ (ni siquiera cuadraría de tamaño).