Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Matrices

Andalucía · 2024 · Junio

Enunciado

Ejercicio 5 (bloque C). Considera la matriz

A = \begin{pmatrix} 1 & \frac{1}{8} & \frac{1}{8} \\[4pt] 0 & 1 & 0 \\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

a) [1 punto] Calcula

A^{2024}

.

b) [1,5 puntos] Halla la matriz

X

, si es posible, que verifica

A^{2}XA + I = O

, donde

I

O

son la matriz identidad y la matriz nula de orden

3

, respectivamente.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a)}\quad A^{2024} = I + 2024\,N = \begin{pmatrix} 1 & 253 & 253 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad X = -A^{-3} = \begin{pmatrix} -1 & \frac{3}{8} & \frac{3}{8} \\[4pt] 0 & -1 & 0 \\[4pt] 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

En a) el camino es calcular

A^{2}

A^{3}

y buscar el patrón. Aquí el patrón se ve mejor si se escribe

A = I + N

, donde

N

recoge la parte de arriba; resulta que

N^{2} = O

(es nilpotente) y entonces el binomio de Newton se corta en dos términos:

A^{n} = I + nN

.

En b) conviene despejar

X

simbólicamente antes de tocar ningún número: de

A^{2}XA = -I

sale

X = -A^{-2}A^{-1} = -A^{-3}

. Y como todas las potencias de

A

son de la forma

I + kN

, la inversa también, sin necesidad de adjuntos.

Desarrollo

a) Potencias de $A$ . Escribimos

A = I + N, \qquad N = \begin{pmatrix} 0 & \frac{1}{8} & \frac{1}{8} \\[4pt] 0 & 0 & 0 \\[4pt] 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

Al multiplicar

N

por sí misma, las únicas entradas no nulas de

N

(fila

1

) se emparejan con las filas

2

3

N

, que son nulas:

N^{2} = O

Como

I

N

conmutan, el binomio de Newton se reduce a dos sumandos:

A^{n} = (I+N)^{n} = I + nN + \binom{n}{2}N^{2} + \cdots = I + nN

es decir

A^{n} = \begin{pmatrix} 1 & \frac{n}{8} & \frac{n}{8} \\[4pt] 0 & 1 & 0 \\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

(Se comprueba con las primeras: $A^{2}$ tiene $\frac{2}{8} = \frac{1}{4}$ arriba y $A^{3}$ tiene $\frac{3}{8}$ .)

Para

n = 2024

, y como

\dfrac{2024}{8} = 253

A^{2024} = \begin{pmatrix} 1 & 253 & 253 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

b) La matriz $X$ . Partimos de

A^{2}XA + I = O \;\Longrightarrow\; A^{2}XA = -I

A

es invertible (

|A| = 1 \neq 0

, es triangular con unos en la diagonal), así que multiplicamos por

A^{-2}

por la izquierda y por

A^{-1}

por la derecha:

X = A^{-2}\,(-I)\,A^{-1} = -A^{-3}

Y la inversa se obtiene sin adjuntos: de

(I+N)(I-N) = I - N^{2} = I

se sigue

A^{-1} = I - N

, y en general

A^{-n} = \bigl(A^{n}\bigr)^{-1} = (I + nN)^{-1} = I - nN

Con

n = 3

A^{-3} = I - 3N = \begin{pmatrix} 1 & -\frac{3}{8} & -\frac{3}{8} \\[4pt] 0 & 1 & 0 \\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

X = -A^{-3} = \begin{pmatrix} -1 & \frac{3}{8} & \frac{3}{8} \\[4pt] 0 & -1 & 0 \\[4pt] 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}

Comprobación. Como todas las potencias de

A

conmutan entre sí,

A^{2}XA = A^{2}\bigl(-A^{-3}\bigr)A = -A^{2}A^{-3}A = -A^{3}A^{-3} = -I

luego

A^{2}XA + I = -I + I = O

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

En a), calcula $A^{2}$ y $A^{3}$ antes de conjeturar nada, y enuncia el patrón que observas: los criterios dan hasta $0{,}5$ puntos solo por hallar algunas potencias. El fraccionario $\frac{1}{8}$ está puesto para que $\frac{2024}{8} = 253$ salga entero: si tu resultado no es entero, revisa.

En b), despeja antes de calcular. Y cuidado con el orden: $A^{-2}$ multiplica por la izquierda y $A^{-1}$ por la derecha; escribir $X = -A^{-1}A^{-2}$ da lo mismo aquí solo porque las potencias de una misma matriz conmutan, pero en general no es válido.