Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Sistemas de ecuaciones

Andalucía · 2024 · Reserva 2

Enunciado

Ejercicio 6 (bloque C). Determina un número natural de tres cifras sabiendo que la suma de sus dígitos es

9

, que la diferencia de dicho número con el que se obtiene al intercambiar la cifra de las centenas por la de las unidades es

198

, y que si consideramos la suma entre ambos números, es decir, entre el número a determinar y el que se obtiene al intercambiar sus cifras, el resultado es

828

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;N = 513 \qquad (c = 5,\ d = 1,\ u = 3)\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Todo el ejercicio está en el planteamiento: hay que escribir el número en función de sus cifras. Si las cifras son

c

(centenas),

d

(decenas) y

u

(unidades),

N = 100c + 10d + u, \qquad N' = 100u + 10d + c

Y aquí viene el detalle que ahorra mucho trabajo: al restar y al sumar, las expresiones se simplifican de golpe:

N - N' = 99\,(c-u), \qquad N + N' = 101\,(c+u) + 20d

Con eso, la segunda condición da directamente

c-u

y las otras dos se resuelven con el cambio

s = c+u

Desarrollo

Planteamiento. Sean

c

d

u

las cifras de centenas, decenas y unidades. Las tres condiciones son:

\text{(1)}\quad c + d + u = 9

\text{(2)}\quad N - N' = \bigl(100c + 10d + u\bigr) - \bigl(100u + 10d + c\bigr) = 99c - 99u = 198

\text{(3)}\quad N + N' = \bigl(100c + 10d + u\bigr) + \bigl(100u + 10d + c\bigr) = 101c + 20d + 101u = 828

De (2):

99\,(c - u) = 198 \;\Longrightarrow\; c - u = 2

De (1) y (3). Llamando

s = c+u

, la ecuación (1) dice

d = 9 - s

y la (3) se escribe

101s + 20d = 828 \;\Longrightarrow\; 101s + 20(9-s) = 828 \;\Longrightarrow\; 81s = 648 \;\Longrightarrow\; s = 8

Por tanto

c + u = 8, \qquad d = 9 - 8 = 1

Las cifras. Con

c+u = 8

c-u = 2

c = \frac{8+2}{2} = 5, \qquad u = \frac{8-2}{2} = 3

El número:

N = 100\cdot 5 + 10\cdot 1 + 3 = 513

Comprobación de las tres condiciones. Las cifras son

5

1

3

y el número intercambiado es

N' = 315

5 + 1 + 3 = 9 \qquad 513 - 315 = 198 \qquad 513 + 315 = 828

Las tres se cumplen.

(Y las tres cifras son dígitos válidos, entre $0$ y $9$ , con $c \neq 0$ : el número tiene realmente tres cifras.)

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

El error de fondo en estos problemas es escribir el número como " $cdu$ " y operar con las cifras como si fueran el número. Hay que escribir $N = 100c + 10d + u$ : sin esa traducción, las condiciones de resta y suma no se pueden plantear.

Fíjate en que al restar desaparecen las decenas ( $99(c-u)$ ) y al sumar aparecen emparejadas ( $101(c+u) + 20d$ ). Detectarlo convierte un sistema de tres ecuaciones en tres pasos casi inmediatos. Y al terminar, comprueba que las cifras son dígitos ( $0$ – $9$ , con la de centenas no nula): es parte de la solución.