Opción B · Ejercicio 3. Considera las matrices A = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 0 & 1\end{pmatrix} y B = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 0\end{pmatrix}. a) [1,25 puntos] Calcula X e Y tales que \;X-Y = A^{t}\; y \;2X-Y = B (A^{t} es la matriz traspuesta de A). b) [1,25 puntos] Calcula Z tal que \;A\,Z = B\,Z+A.

Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Matrices

Andalucía · 2013 · Reserva 4 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 3. Considera las matrices

A = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 0 & 1\end{pmatrix}

B = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 0\end{pmatrix}

.

a) [1,25 puntos] Calcula

X

Y

tales que

\;X-Y = A^{t}\;

\;2X-Y = B

(

A^{t}

es la matriz traspuesta de

A

).

b) [1,25 puntos] Calcula

Z

tal que

\;A\,Z = B\,Z+A

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;A^{t} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 2 & 1\end{pmatrix}; \qquad X = B-A^{t} = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & -1\end{pmatrix}\;}

\boxed{\;Y = X-A^{t} = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -3 & -2\end{pmatrix}\;}

\boxed{\;\text{b) } (A-B)\,Z = A \;\Longrightarrow\; Z = (A-B)^{-1}A, \qquad A-B = \begin{pmatrix} -2 & 3 \\ -1 & 1\end{pmatrix}\;}

\boxed{\;Z = \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ -1 & 0\end{pmatrix}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

a) Sistema de dos ecuaciones matriciales con coeficientes escalares: se resuelve por reducción como un sistema numérico. Restando las dos ecuaciones sale $X$ de inmediato.
b) Ojo: $Z$ aparece en los dos miembros. Hay que agruparla primero:

A\,Z-B\,Z = A \;\Longrightarrow\; \bigl(A-B\bigr)Z = A \;\Longrightarrow\; Z = \bigl(A-B\bigr)^{-1}A

(La factorización $AZ-BZ = (A-B)Z$ es válida porque $Z$ está a la derecha en los dos términos.)

Desarrollo

La traspuesta.

A^{t} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 2 & 1\end{pmatrix}

a) El sistema.

\begin{cases} \phantom{2}X-Y = A^{t} \\ 2X-Y = B\end{cases}

Restando la primera de la segunda:

X = B-A^{t} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 2 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & -1\end{pmatrix}

Y de la primera:

Y = X-A^{t} = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & -1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 2 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -3 & -2\end{pmatrix}

Comprobación.

\;2X-Y = \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -2 & -2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -3 & -2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 0\end{pmatrix} = B

\;\checkmark

b) Agrupando $Z$ .

A\,Z = B\,Z+A \;\Longrightarrow\; A\,Z-B\,Z = A \;\Longrightarrow\; \bigl(A-B\bigr)Z = A

La matriz $A-B$ y su inversa.

A-B = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 0 & 1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 3 \\ -1 & 1\end{pmatrix}

\det(A-B) = -2+3 = 1 \neq 0 \;\Longrightarrow\; \bigl(A-B\bigr)^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -3 \\ 1 & -2\end{pmatrix}

(Con determinante $1$ la inversa es la adjunta traspuesta, sin fracciones.)

La matriz $Z$ .

Z = \bigl(A-B\bigr)^{-1}A = \begin{pmatrix} 1 & -3 \\ 1 & -2\end{pmatrix}\begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 0 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 2-3 \\ -1 & 2-2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ -1 & 0\end{pmatrix}

Comprobación.

A\,Z = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ -1 & 0\end{pmatrix} \qquad B\,Z+A = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & -1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 0 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ -1 & 0\end{pmatrix} \;\checkmark

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Consejo

En b), $Z$ aparece a los dos lados: hay que agruparla antes de despejar. La factorización $AZ-BZ = (A-B)Z$ es legítima porque $Z$ está a la derecha en ambos términos; si estuviera a la izquierda en uno de ellos, no se podría.

$(A-B)^{-1}$ entra por la izquierda, porque $(A-B)$ multiplica a $Z$ por la izquierda.

Que $\det(A-B) = 1$ es una suerte: la inversa sale sin fracciones. Comprueba $(A-B)(A-B)^{-1} = I$ antes de multiplicar por $A$ .