Ejercicio 7. Considera la matriz A = \begin{pmatrix} -\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\[6pt] \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix} a) [1,5 puntos] Calcula A^{37} y A^{41}. b) [1 punto] Halla el determinante de la matriz 3A^{52}\bigl(A^{t}\bigr)^{4}, donde A^{t} es la matriz traspuesta de A.

Matemáticas IIDifícilProblema · 2,5 pts

Matrices

Andalucía · 2020 · Septiembre

Enunciado

Ejercicio 7. Considera la matriz

A = \begin{pmatrix} -\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\[6pt] \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix}

a) [1,5 puntos] Calcula

A^{37}

A^{41}

.

b) [1 punto] Halla el determinante de la matriz

3A^{52}\bigl(A^{t}\bigr)^{4}

, donde

A^{t}

es la matriz traspuesta de

A

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;A^{3} = I \;\Longrightarrow\; \text{periodo } 3\;}

\boxed{\;\text{a)}\quad A^{37} = A, \qquad A^{41} = A^{2} = \begin{pmatrix} -\frac{1}{2} & \frac{\sqrt3}{2} \\[4pt] -\frac{\sqrt3}{2} & -\frac{1}{2}\end{pmatrix}\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad \Bigl|3A^{52}(A^{t})^{4}\Bigr| = 3^{2}|A|^{56} = 9\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Exponentes enormes como

37

41

52

siempre significan lo mismo: hay que buscar el patrón de las potencias. Se calculan

A^{2}

A^{3}

… hasta encontrar una repetición.

Aquí conviene además reconocer la estructura:

A

es una matriz de giro. Si se escribe

A = \begin{pmatrix} \cos\alpha & -\operatorname{sen}\alpha \\ \operatorname{sen}\alpha & \cos\alpha\end{pmatrix}

se ve que

\cos\alpha = -\frac{1}{2}

\operatorname{sen}\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}

, es decir, un giro de

\alpha = 120^{\circ}

. Y tres giros de

120^{\circ}

son una vuelta completa:

A^{3} = I

.

En b) no hace falta calcular ninguna potencia: basta con las propiedades de los determinantes.

Desarrollo

a) Cálculo de $A^{2}$ .

A^{2} = \begin{pmatrix} -\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt3}{2} \\[4pt] \frac{\sqrt3}{2} & -\frac{1}{2}\end{pmatrix}\begin{pmatrix} -\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt3}{2} \\[4pt] \frac{\sqrt3}{2} & -\frac{1}{2}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{1}{2} & \frac{\sqrt3}{2} \\[4pt] -\frac{\sqrt3}{2} & -\frac{1}{2}\end{pmatrix}

(Entrada $(1,1)$ : $\frac{1}{4} - \frac{3}{4} = -\frac{1}{2}$ . Entrada $(1,2)$ : $\frac{\sqrt3}{4} + \frac{\sqrt3}{4} = \frac{\sqrt3}{2}$ .)

Cálculo de $A^{3}$ .

A^{3} = A^{2}A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix} = I

El patrón. Como

A^{3} = I

, las potencias se repiten con periodo $3$ :

A^{n}

depende solo del resto de dividir

n

entre

3

37 = 3\cdot 12 + 1 \;\Longrightarrow\; A^{37} = \bigl(A^{3}\bigr)^{12}A = A = \begin{pmatrix} -\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt3}{2} \\[4pt] \frac{\sqrt3}{2} & -\frac{1}{2}\end{pmatrix}

41 = 3\cdot 13 + 2 \;\Longrightarrow\; A^{41} = \bigl(A^{3}\bigr)^{13}A^{2} = A^{2} = \begin{pmatrix} -\frac{1}{2} & \frac{\sqrt3}{2} \\[4pt] -\frac{\sqrt3}{2} & -\frac{1}{2}\end{pmatrix}

b) El determinante. Primero, el de

A

|A| = \left(-\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{1}{2}\right) - \left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)\left(\frac{\sqrt3}{2}\right) = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = 1

(Era previsible: un giro conserva las áreas.)

Ahora, aplicando las propiedades una a una (y recordando que

A

es de orden

2

, así que el escalar va al cuadrado):

\Bigl|3A^{52}\bigl(A^{t}\bigr)^{4}\Bigr| = 3^{2}\cdot\bigl|A^{52}\bigr|\cdot\Bigl|\bigl(A^{t}\bigr)^{4}\Bigr| = 9\cdot|A|^{52}\cdot\bigl|A^{t}\bigr|^{4} = 9\cdot|A|^{52}\cdot|A|^{4}

= 9\cdot 1^{52}\cdot 1^{4} = 9

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

No calcules $A^{37}$ multiplicando treinta y siete veces: busca el patrón. Como $A^{3} = I$ , basta el resto de dividir el exponente entre $3$ . Y reconocer que $A$ es una matriz de giro de $120^{\circ}$ te dice de antemano que el periodo será $3$ .

En b), el error clásico es escribir $\bigl|3M\bigr| = 3|M|$ . Para una matriz $2\times 2$ es $3^{2} = 9$ , porque el escalar multiplica a las dos filas. Y recuerda que $\bigl|A^{t}\bigr| = |A|$ : la trasposición no cambia el determinante.