Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Matrices

Andalucía · 2015 · Reserva 5 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 3. Considera la matriz

A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & m \\ m-1 & 0 & 2 \\ 0 & 1-m & 0\end{pmatrix}

.

a) [1,75 puntos] Halla el valor, o los valores, de

m

para los que la matriz

A

tiene rango 2.

b) [0,75 puntos] Para

m = 1

, determina

A^{2015}

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\det A = -m\,(m-1)^{2} = 0 \;\Longleftrightarrow\; m = 0 \text{ o } m = 1\;}

\boxed{\;\text{a) En ambos casos hay un menor } 2\times2 \text{ no nulo}: \ \operatorname{rg}A = 2 \iff m = 0 \text{ o } m = 1\;}

\boxed{\;\text{b) } m=1: \ A^{2} = \begin{pmatrix} 0&0&2\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}, \quad A^{3} = O\;}

\boxed{\;A^{2015} = O \quad (\text{matriz nula})\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

a) Rango $2$ significa dos cosas: el determinante debe anularse (si no, el rango sería $3$ ) y debe existir algún menor de orden $2$ no nulo (si no, sería $\leq 1$ ). Hay que comprobar las dos en cada candidato.

b) Con $m=1$ la matriz resulta ser triangular superior con diagonal nula. Ese tipo de matrices es nilpotente: sus potencias acaban dando la matriz nula. La estrategia es calcular $A^{2}$ , $A^{3}$ … hasta encontrar el patrón, en vez de intentar una fórmula general.

Desarrollo

El determinante. Desarrollando por la primera columna (solo tiene el elemento

m-1

\det A = -(m-1)\begin{vmatrix} 1 & m \\ 1-m & 0\end{vmatrix} = -(m-1)\bigl[0-m(1-m)\bigr] = -(m-1)\,m\,(m-1)

\det A = -m\,(m-1)^{2}

\det A = 0 \;\Longleftrightarrow\; m = 0 \quad \text{o} \quad m = 1

a) Comprobación del rango en cada caso.

Caso $m = 0$ :

A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0\end{pmatrix}, \qquad \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0\end{vmatrix} = 1 \neq 0 \;\Longrightarrow\; \operatorname{rg}A = 2

Caso $m = 1$ :

A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}, \qquad \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2\end{vmatrix} = 2 \neq 0 \;\Longrightarrow\; \operatorname{rg}A = 2

Cualquier otro $m$ :

\det A \neq 0 \Rightarrow \operatorname{rg}A = 3

\operatorname{rg}A = 2 \iff m = 0 \ \text{ o } \ m = 1

b) Las potencias con $m=1$ .

A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}

A^{2} = A\cdot A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}

(Entrada $(1,3)$ : $\;0\cdot1+1\cdot2+1\cdot0 = 2$ ; el resto se anula.)

A^{3} = A^{2}\cdot A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} = O

La matriz es nilpotente de índice 3. Por tanto, para todo exponente

n\geq3

A^{n} = A^{3}\cdot A^{\,n-3} = O\cdot A^{\,n-3} = O

Y como

2015 \geq 3

A^{2015} = O = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Para el rango $2$ no basta con $\det A = 0$ : hay que exhibir un menor de orden $2$ no nulo. Si en algún caso todos se anularan, el rango sería $1$ y ese valor de $m$ no valdría.

Que $m=1$ sea raíz doble del determinante no significa nada especial sobre el rango: hay que comprobarlo igual que la raíz simple.

En b), no busques una fórmula: calcula $A^{2}$ y $A^{3}$ . Al ver que $A^{3} = O$ el problema se acaba, porque toda potencia mayor también es nula. Es el comportamiento típico de las matrices triangulares con diagonal nula.