Opción A · Ejercicio 3. Tratamos de adivinar, mediante ciertas pistas, los precios de tres productos A, B y C. - Pista 1: Si compramos una unidad de A, dos de B y una de C gastamos 118 euros. - Pista 2: Si compramos n unidades de A, n+3 de B y tres de C gastamos 390 euros. a) [1,5 puntos] ¿Hay algún valor de n para el que estas dos pistas sean incompatibles? b) [1 punto] Sabiendo que n = 4 y que el producto C cuesta el triple que el producto A, calcula el precio de cada producto.

Matemáticas IIDifícilProblema · 2,5 pts

Sistemas de ecuaciones

Andalucía · 2009 · Reserva 1 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 3. Tratamos de adivinar, mediante ciertas pistas, los precios de tres productos

A

B

C

Pista 1: Si compramos una unidad de $A$ , dos de $B$ y una de $C$ gastamos $118$ euros.
Pista 2: Si compramos $n$ unidades de $A$ , $n+3$ de $B$ y tres de $C$ gastamos $390$ euros.

a) [1,5 puntos] ¿Hay algún valor de

n

para el que estas dos pistas sean incompatibles?

b) [1 punto] Sabiendo que

n = 4

y que el producto

C

cuesta el triple que el producto

A

, calcula el precio de cada producto.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\begin{cases} A+2B+C = 118 \\ nA+(n+3)B+3C = 390\end{cases}\;}

\boxed{\;\text{Incompatible} \iff \text{filas proporcionales}: \ (n,n+3,3) = k(1,2,1) \Rightarrow n = k = 3\;}

\boxed{\;n = 3: \ 3\cdot118 = 354 \neq 390 \;\Longrightarrow\; \textbf{incompatible}\;}

\boxed{\;\text{b) } A = 23, \quad B = 13, \quad C = 69 \ \text{euros}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Llamando

A

B

C

a los precios, las pistas son dos ecuaciones con tres incógnitas:

\begin{cases} A+2B+C = 118 \\ n A+(n+3)B+3C = 390\end{cases}

a) Con $2$ ecuaciones, el rango de la matriz de coeficientes es $2$ (compatible) salvo que las dos filas sean proporcionales. Solo entonces puede haber incompatibilidad, y hay que comprobar si los términos independientes respetan esa proporción.
b) Con $n=4$ y la condición $C = 3A$ hay tres ecuaciones y tres incógnitas: sistema determinado.

Desarrollo

a) ¿Cuándo pueden ser incompatibles?

M = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ n & n+3 & 3\end{pmatrix} \qquad M^{*} = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & 118 \\ n & n+3 & 3 & 390\end{array}\right)

\operatorname{rg}M = 2

, entonces

\operatorname{rg}M^{*} = 2

también (no puede ser mayor, porque solo hay dos filas) y el sistema es compatible.

Así que la única opción de incompatibilidad es

\operatorname{rg}M = 1

, es decir, filas proporcionales:

(n,\; n+3,\; 3) = k\,(1,\; 2,\; 1)

De la primera y la tercera componentes:

\;k = n\;

\;k = 3

, luego

n = 3

.

Comprobación con la segunda:

\;n+3 = 6 = 2k = 6

\;\checkmark

Con $n = 3$ , ¿son proporcionales también los términos independientes?

3\cdot118 = 354 \neq 390

No. Por tanto

\operatorname{rg}M = 1

pero

\operatorname{rg}M^{*} = 2

\textbf{Sí: para } n = 3 \textbf{ las pistas son incompatibles}

(Tiene sentido: con $n=3$ la segunda pista sería "comprar el triple de todo" y debería costar $354$ , no $390$ .)

b) Los precios con $n = 4$ y $C = 3A$ .

\begin{cases} A+2B+C = 118 \\ 4A+7B+3C = 390 \\ C = 3A\end{cases}

Sustituyendo $C = 3A$ :

A+2B+3A = 4A+2B = 118 \;\Longrightarrow\; 2A+B = 59 \;\Longrightarrow\; B = 59-2A

4A+7B+9A = 13A+7B = 390

Sustituyendo $B$ :

13A+7\,(59-2A) = 13A+413-14A = -A+413 = 390 \;\Longrightarrow\; A = 23

B = 59-46 = 13 \qquad C = 3\cdot23 = 69

\textbf{A cuesta } 23, \quad \textbf{B cuesta } 13, \quad \textbf{C cuesta } 69 \ \text{(euros)}

Comprobaciones.

23+26+69 = 118 \;\checkmark \qquad 4(23)+7(13)+3(69) = 92+91+207 = 390 \;\checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Con más incógnitas que ecuaciones, un sistema solo puede ser incompatible si las filas de coeficientes son proporcionales y las de la ampliada no. Ese es el único caso a estudiar.

Al buscar la constante de proporcionalidad, usa las componentes más simples ( $1$ y $3$ en la tercera columna) y verifica con la restante: si fallara, no habría ningún $n$ .

En b), sustituye $C = 3A$ desde el principio: el sistema $3\times3$ se convierte en uno $2\times2$ y se resuelve de cabeza. Y comprueba los precios en las dos pistas originales.