Matemáticas IIDifícilProblema · 2,5 pts

Matrices

Andalucía · 2022 · Junio

Enunciado

Ejercicio 6 (bloque B). Considera la matriz

A = \begin{pmatrix} m & \sqrt{m} & \sqrt{m} \\ \sqrt{m} & m & 1 \\ \sqrt{m} & 1 & m \end{pmatrix}, \qquad \text{donde } m \geq 0

a) [1 punto] ¿Para qué valores de

m

tiene inversa la matriz

A

?

b) [1,5 puntos] Para

m = 4

resuelve, si es posible, la ecuación matricial

A\,X = 12\,I

, donde

I

es la matriz identidad de orden

3

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a)}\quad |A| = m\,(m-1)^{2}; \qquad \text{existe } A^{-1} \Longleftrightarrow m > 0 \text{ y } m \neq 1\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad X = 12\,A^{-1} = \begin{pmatrix} 5 & -2 & -2 \\ -2 & 4 & 0 \\ -2 & 0 & 4 \end{pmatrix}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Las raíces cuadradas asustan, pero el truco es inmediato: llamar $s = \sqrt{m}$ , de modo que

m = s^{2}

y toda la matriz queda con entradas polinómicas en

s

. Al final se deshace el cambio.

Hay que tener presente la restricción

m \geq 0

del enunciado (es la que da sentido a

\sqrt{m}

): las conclusiones solo valen ahí.

En b) la ecuación es del tipo más simple,

AX = B

con

B = 12I

. Al despejar aparece

X = 12A^{-1}

, así que basta calcular la inversa y multiplicar por

12

; los denominadores se simplifican y el resultado sale entero.

Desarrollo

a) El cambio $s = \sqrt{m}$ . Con

m = s^{2}

s \geq 0

A = \begin{pmatrix} s^{2} & s & s \\ s & s^{2} & 1 \\ s & 1 & s^{2} \end{pmatrix}

Desarrollando por la primera fila:

|A| = s^{2}\bigl(s^{4} - 1\bigr) - s\bigl(s^{3} - s\bigr) + s\bigl(s - s^{3}\bigr)

= s^{2}\bigl(s^{4}-1\bigr) - s^{2}\bigl(s^{2}-1\bigr) - s^{2}\bigl(s^{2}-1\bigr) = s^{2}\bigl(s^{4}-1\bigr) - 2s^{2}\bigl(s^{2}-1\bigr)

Sacando

s^{2}(s^{2}-1)

como factor común:

= s^{2}\bigl(s^{2}-1\bigr)\Bigl[\bigl(s^{2}+1\bigr) - 2\Bigr] = s^{2}\bigl(s^{2}-1\bigr)^{2}

Deshaciendo el cambio (

s^{2} = m

|A| = m\,(m - 1)^{2}

|A| \neq 0 \;\Longleftrightarrow\; m \neq 0 \;\text{ y }\; m \neq 1

Como además el enunciado exige

m \geq 0

, la respuesta es: $A$ tiene inversa para todo $m > 0$ con $m \neq 1$ .

b) Caso $m = 4$ . Entonces

\sqrt{m} = 2

A = \begin{pmatrix} 4 & 2 & 2 \\ 2 & 4 & 1 \\ 2 & 1 & 4 \end{pmatrix}, \qquad |A| = 4\,(4-1)^{2} = 4 \cdot 9 = 36 \neq 0

Despeje. La incógnita está a la derecha de

A

, así que se multiplica por

A^{-1}

por la izquierda:

A\,X = 12\,I \;\Longrightarrow\; X = A^{-1}\cdot 12\,I = 12\,A^{-1}

Inversa. La matriz adjunta traspuesta es

\operatorname{adj}(A)^{t} = \begin{pmatrix} 15 & -6 & -6 \\ -6 & 12 & 0 \\ -6 & 0 & 12 \end{pmatrix}

(Por ejemplo, el adjunto $A_{11} = \left|\begin{array}{cc} 4 & 1 \\ 1 & 4\end{array}\right| = 15$ y $A_{23} = -\left|\begin{array}{cc} 4 & 2 \\ 2 & 1\end{array}\right| = -(4-4) = 0$ . Como $A$ es simétrica, su inversa también lo es: buena señal.)

A^{-1} = \frac{1}{36}\begin{pmatrix} 15 & -6 & -6 \\ -6 & 12 & 0 \\ -6 & 0 & 12 \end{pmatrix}

Resultado.

X = 12\,A^{-1} = \frac{12}{36}\begin{pmatrix} 15 & -6 & -6 \\ -6 & 12 & 0 \\ -6 & 0 & 12 \end{pmatrix} = \frac{1}{3}\begin{pmatrix} 15 & -6 & -6 \\ -6 & 12 & 0 \\ -6 & 0 & 12 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & -2 & -2 \\ -2 & 4 & 0 \\ -2 & 0 & 4 \end{pmatrix}

Comprobación. La primera entrada de

A\,X

\;4\cdot 5 + 2\cdot(-2) + 2\cdot(-2) = 20 - 4 - 4 = 12\;\checkmark

. Y la entrada

(1,2)

\;4\cdot(-2) + 2\cdot 4 + 2\cdot 0 = 0\;\checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

El cambio $s = \sqrt{m}$ convierte un determinante con radicales en un polinomio que se factoriza a ojo. Intentarlo directamente con $\sqrt{m}$ funciona, pero es mucho más fácil equivocarse al agrupar. Y no olvides deshacer el cambio al dar la respuesta: la pregunta es sobre $m$ , no sobre $s$ .

Y no te dejes la condición del enunciado, $m \geq 0$ : es la que da sentido a $\sqrt{m}$ y la que hay que arrastrar hasta la respuesta final (" $m > 0$ y $m \neq 1$ ", no " $m \neq 0$ y $m \neq 1$ "). El valor $m = 1$ es raíz doble del determinante; eso no cambia la conclusión, pero conviene dejarlo escrito factorizado.