Matemáticas IIDifícilProblema · 2,5 pts

Matrices

Andalucía · 2017 · Reserva 3 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 3. [2,5 puntos] Considera las matrices

A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \\ 0 & 1\end{pmatrix}, \qquad B = \begin{pmatrix} 3 & \phantom{-}1 & 1 \\ 2 & -1 & 1\end{pmatrix} \qquad \text{y} \qquad C = \begin{pmatrix} \phantom{-}1 & \phantom{-}1 & 0 \\ -1 & \phantom{-}2 & 1 \\ \phantom{-}1 & -1 & 1\end{pmatrix}

Determina, si existe, la matriz

X

que verifica que

A\,B\,X - 2C = C\,X

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;A\,B = \begin{pmatrix} 7 & -1 & 3 \\ 8 & 1 & 3 \\ 2 & -1 & 1\end{pmatrix}, \qquad M = A\,B - C = \begin{pmatrix} 6 & -2 & 3 \\ 9 & -1 & 2 \\ 1 & 0 & 0\end{pmatrix}\;}

\boxed{\;\bigl(A\,B - C\bigr)X = 2C \;\Longrightarrow\; X = M^{-1}\,(2C), \qquad |M| = -1 \neq 0\;}

\boxed{\;X = \begin{pmatrix} 2 & -2 & 2 \\ -40 & 38 & -24 \\ -30 & 30 & -20\end{pmatrix}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Lo primero es mirar las dimensiones:

A

3\times 2

B

2\times 3

, luego

A\,B

3\times 3

, igual que

C

. La ecuación tiene sentido y

X

será

3\times 3

.

El paso decisivo es agrupar las $X$ a un lado:

A\,B\,X - C\,X = 2C \;\Longrightarrow\; \bigl(A\,B - C\bigr)X = 2C \;\Longrightarrow\; X = \bigl(A\,B - C\bigr)^{-1}\,(2C)

Nótese que

X

no se puede sacar factor común como escalar: hay que escribir

(AB - C)X

, con la resta de matrices dentro del paréntesis.

Desarrollo

Paso 1: el producto $A\,B$ (

3\times 2

por

2\times 3

, resulta

3\times 3

A\,B = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \\ 0 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3 & \phantom{-}1 & 1 \\ 2 & -1 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 & -1 & 3 \\ 8 & \phantom{-}1 & 3 \\ 2 & -1 & 1\end{pmatrix}

(Por ejemplo, la entrada $(1,1)$ es $1\cdot 3 + 2\cdot 2 = 7$ , y la $(1,2)$ es $1\cdot 1 + 2\cdot(-1) = -1$ .)

Paso 2: la matriz del sistema.

M = A\,B - C = \begin{pmatrix} 7 & -1 & 3 \\ 8 & 1 & 3 \\ 2 & -1 & 1\end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ -1 & 2 & 1 \\ 1 & -1 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & -2 & 3 \\ 9 & -1 & 2 \\ 1 & \phantom{-}0 & 0\end{pmatrix}

Paso 3: ¿es invertible? Desarrollando por la tercera fila (dos ceros):

|M| = 1\cdot\left|\begin{array}{cc} -2 & 3 \\ -1 & 2\end{array}\right| = -4 + 3 = -1 \neq 0

Sí lo es, así que

X

existe y es única.

Paso 4: la inversa de $M$ . Con

|M| = -1

, los adjuntos dan

M^{-1} = \begin{pmatrix} \phantom{-}0 & 0 & \phantom{-1}1 \\ -2 & 3 & -15 \\ -1 & 2 & -12\end{pmatrix}

(Comprobación: $M\,M^{-1} = I$ .)

Paso 5: el término independiente.

2C = \begin{pmatrix} \phantom{-}2 & \phantom{-}2 & 0 \\ -2 & \phantom{-}4 & 2 \\ \phantom{-}2 & -2 & 2\end{pmatrix}

Paso 6: la solución.

X = M^{-1}\,(2C) = \begin{pmatrix} \phantom{-}2 & -2 & \phantom{-}2 \\ -40 & \phantom{-}38 & -24 \\ -30 & \phantom{-}30 & -20\end{pmatrix}

Comprobación.

A\,B\,X - C\,X = \bigl(A\,B - C\bigr)X = M\,X = 2C \quad \checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Mira las dimensiones antes de operar: $A\,B$ es $3\times 3$ (y $B\,A$ sería $2\times 2$ ). Solo el primer orden hace que la ecuación tenga sentido junto a $C$ .

Al agrupar, escribe $\bigl(A\,B - C\bigr)X$ , con la resta dentro del paréntesis: la $X$ se saca factor común por la derecha, no como si fuera un número. Y por eso $M^{-1}$ entra por la izquierda.

Comprueba que $|M| \neq 0$ antes de invertir: el enunciado dice "si existe", y esa comprobación es parte de la respuesta. Si el determinante fuese cero, habría que discutir si el sistema tiene soluciones o ninguna.