Matemáticas IIDifícilProblema · 2,5 pts

Matrices

Andalucía · 2015 · Reserva 2 · Opción A
Enunciado
Opción A · Ejercicio 3. Considera las siguientes matrices:A=(−122−1),B=(100−210321)yC=(100−150)A = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 2 & -1\end{pmatrix}, \qquad B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 0 \\ 3 & 2 & 1\end{pmatrix} \qquad \text{y} \qquad C = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -1 & 5 & 0\end{pmatrix}a) [1,5 puntos] Determina la matriz XX para la que AtXB−1=CA^{t}XB^{-1} = C (AtA^{t} es la traspuesta de AA).

b) [1 punto] Calcula el determinante de B−1(CtC)BB^{-1}\bigl(C^{t}C\bigr)B (CtC^{t} es la traspuesta de CC).
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Resultado
  At=A (simeˊtrica), det⁡A=−3;X=A−1 C B  \boxed{\;A^{t} = A \ (\text{simétrica}), \ \det A = -3; \qquad X = A^{-1}\,C\,B\;}  CB=(100−1150);X=(−71030−3530)  \boxed{\;CB = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -11 & 5 & 0\end{pmatrix}; \qquad X = \begin{pmatrix} -7 & \frac{10}{3} & 0 \\ -3 & \frac53 & 0\end{pmatrix}\;}  b) det⁡(B−1(CtC)B)=det⁡(CtC)=0(rg⁡≤2<3)  \boxed{\;\text{b) } \det\bigl(B^{-1}(C^{t}C)B\bigr) = \det\bigl(C^{t}C\bigr) = 0 \quad (\operatorname{rg}\leq 2 < 3)\;}
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Estrategia

  • a) Despejar XX multiplicando por el lado correcto: AtA^{t} está a la izquierda (se compensa con (At)−1(A^{t})^{-1} por la izquierda) y B−1B^{-1} a la derecha (se compensa con BB por la derecha):
X=(At)−1 C BX = \bigl(A^{t}\bigr)^{-1}\,C\,B Fíjate en las dimensiones: AA es 2×22\times2, CC es 2×32\times3 y BB es 3×33\times3, luego XX es 2×32\times 3. Comprobarlo antes de operar evita productos imposibles.
  • b) No hay que calcular la inversa de BB ni el producto: basta con propiedades de determinantes. Y observar que CtCC^{t}C tiene rango a lo sumo 22, siendo 3×33\times3.
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Desarrollo

a) Despejando XX.AtXB−1=C  ⟹  AtX=C B  ⟹  X=(At)−1C BA^{t}XB^{-1} = C \;\Longrightarrow\; A^{t}X = C\,B \;\Longrightarrow\; X = \bigl(A^{t}\bigr)^{-1}C\,BLa matriz AA es simétrica, así que At=AA^{t} = A:det⁡A=(−1)(−1)−(2)(2)=1−4=−3≠0\det A = (-1)(-1)-(2)(2) = 1-4 = -3 \neq 0A−1=1−3(−1−2−2−1)=(13232313)A^{-1} = \frac{1}{-3}\begin{pmatrix} -1 & -2 \\ -2 & -1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac13 & \frac23 \\[3pt] \frac23 & \frac13\end{pmatrix}El producto CBCB (2×32\times3 por 3×33\times3, sale 2×32\times 3):CB=(100−150)(100−210321)=(100−1150)CB = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -1 & 5 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 0 \\ 3 & 2 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -11 & 5 & 0\end{pmatrix}(Segunda fila: −1−10+0=−11-1-10+0 = -11;   0+5+0=5\;0+5+0 = 5;   0+0+0=0\;0+0+0 = 0.)

La matriz XX.X=A−1(CB)=(13232313)(100−1150)=(−71030−3530)X = A^{-1}(CB) = \begin{pmatrix} \frac13 & \frac23 \\[3pt] \frac23 & \frac13\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -11 & 5 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -7 & \frac{10}{3} & 0 \\[3pt] -3 & \frac53 & 0\end{pmatrix}(Primera fila: 13−223=−7\frac13-\frac{22}{3} = -7;   103\;\frac{10}{3};   0\;0.)

b) El determinante. Por la propiedad det⁡(MN)=det⁡M⋅det⁡N\det(MN) = \det M\cdot\det N:det⁡(B−1(CtC)B)=1det⁡B⋅det⁡(CtC)⋅det⁡B=det⁡(CtC)\det\Bigl(B^{-1}\bigl(C^{t}C\bigr)B\Bigr) = \frac{1}{\det B}\cdot\det\bigl(C^{t}C\bigr)\cdot\det B = \det\bigl(C^{t}C\bigr)(Es el determinante de una matriz semejante a CtCC^{t}C: no cambia.)

¿Cuánto vale det⁡(CtC)\det(C^{t}C)? La matriz CC es 2×32\times3, luego rg⁡(C)≤2\operatorname{rg}(C)\leq 2 y por tantorg⁡(CtC)≤rg⁡(C)≤2<3\operatorname{rg}\bigl(C^{t}C\bigr) \leq \operatorname{rg}(C) \leq 2 < 3Una matriz 3×33\times3 de rango menor que 33 tiene determinante nulo:det⁡(B−1(CtC)B)=0\det\Bigl(B^{-1}\bigl(C^{t}C\bigr)B\Bigr) = 0Comprobación directa.CtC=(1−10500)(100−150)=(2−50−5250000)C^{t}C = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 5 \\ 0 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -1 & 5 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -5 & 0 \\ -5 & 25 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}La tercera fila es nula ⇒\Rightarrow determinante 00   ✓\;\checkmark
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Consejo

Al despejar, cada matriz se compensa por su lado: AtA^{t} está a la izquierda de XX, así que (At)−1(A^{t})^{-1} entra por la izquierda; B−1B^{-1} está a la derecha, así que BB entra por la derecha. Cambiar el orden da otra matriz.

Comprueba las dimensiones antes de operar. XX tiene que ser 2×32\times3, y eso descarta de entrada cualquier planteamiento en el que XX salga cuadrada.

En b) no calcules la inversa de BB: det⁡(B−1MB)=det⁡M\det(B^{-1}MB) = \det M siempre. Y el determinante de CtCC^{t}C es 00 por rango, sin necesidad de hacer el producto — aunque hacerlo es una comprobación de treinta segundos.
Paso 1 de 3
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