Matemáticas IIDifícilProblema · 2,5 pts

Matrices

Andalucía · 2021 · Reserva 2

Enunciado

Ejercicio 5 (bloque B). Considera la matriz

A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 2 \\ -1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 4 \end{pmatrix}

a) [1,75 puntos] Estudia, según los valores de

\lambda

, el rango de la matriz

A - \lambda I

, siendo

I

la matriz identidad de orden tres.

b) [0,75 puntos] Resuelve el sistema

(A - I)\begin{pmatrix} x \\ y \\ z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}

y halla, si existe, una solución en la que

x = 2

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;|A - \lambda I| = -(\lambda - 1)(\lambda - 3)(\lambda - 4)\;}

\boxed{\;\operatorname{rg}(A - \lambda I) = 3 \text{ si } \lambda \neq 1,3,4; \qquad \operatorname{rg} = 2 \text{ si } \lambda = 1, 3 \text{ o } 4\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad (x,y,z) = t\,(-2,-3,1); \qquad \text{con } x = 2: \; (2,\, 3,\, -1)\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

El apartado a) es el cálculo del polinomio característico de

A

(aunque el enunciado no lo llame así): se plantea

|A - \lambda I|

, se desarrolla y se factoriza. Donde no se anule, el rango es

3

; donde se anule, hay que exhibir un menor de orden

2

no nulo para afirmar que el rango es exactamente

2

.

En b), el valor

\lambda = 1

es precisamente una de las raíces, así que el sistema homogéneo es compatible indeterminado: hay infinitas soluciones además de la trivial, y entre ellas habrá que localizar la que tiene

x = 2

Desarrollo

a) Determinante de $A - \lambda I$ .

A - \lambda I = \begin{pmatrix} 2-\lambda & 0 & 2 \\ -1 & 2-\lambda & 1 \\ 0 & 1 & 4-\lambda \end{pmatrix}

Desarrollando por la primera fila (que tiene un cero):

|A - \lambda I| = (2-\lambda)\Bigl[(2-\lambda)(4-\lambda) - 1\Bigr] + 2\Bigl[(-1)\cdot 1 - (2-\lambda)\cdot 0\Bigr]

= (2-\lambda)\bigl(\lambda^{2} - 6\lambda + 7\bigr) - 2

= 2\lambda^{2} - 12\lambda + 14 - \lambda^{3} + 6\lambda^{2} - 7\lambda - 2 = -\lambda^{3} + 8\lambda^{2} - 19\lambda + 12

Factorización. Probando

\lambda = 1

\;-1 + 8 - 19 + 12 = 0

, así que

(\lambda - 1)

es factor. Dividiendo,

|A - \lambda I| = -\bigl(\lambda - 1\bigr)\bigl(\lambda^{2} - 7\lambda + 12\bigr) = -\,(\lambda - 1)(\lambda - 3)(\lambda - 4)

|A - \lambda I| = 0 \;\Longleftrightarrow\; \lambda = 1, \quad \lambda = 3, \quad \lambda = 4

Discusión del rango.

Si $\lambda \neq 1, 3, 4$ : el determinante no se anula, luego $\;\operatorname{rg}(A - \lambda I) = 3$ .
Si $\lambda = 1$ : $\;A - I = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ -1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 3\end{pmatrix}$ , y el menor $\left|\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ -1 & 1\end{array}\right| = 1 \neq 0$ da $\;\operatorname{rg} = 2$ .
Si $\lambda = 3$ : $\;A - 3I = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 2 \\ -1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 1\end{pmatrix}$ , y el menor $\left|\begin{array}{cc} -1 & 0 \\ -1 & -1\end{array}\right| = 1 \neq 0$ da $\;\operatorname{rg} = 2$ .
Si $\lambda = 4$ : $\;A - 4I = \begin{pmatrix} -2 & 0 & 2 \\ -1 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & 0\end{pmatrix}$ , y el menor $\left|\begin{array}{cc} -2 & 0 \\ -1 & -2\end{array}\right| = 4 \neq 0$ da $\;\operatorname{rg} = 2$ .

b) El sistema $(A - I)\,X = 0$ . Con

\operatorname{rg}(A-I) = 2 < 3

, es compatible indeterminado con un parámetro. Escribiendo las ecuaciones:

\begin{cases} \phantom{-}x \phantom{{}+{}y} + 2z = 0 \\ -x + \phantom{2}y + \phantom{2}z = 0 \\ \phantom{-x} \phantom{{}+{}} y + 3z = 0 \end{cases}

De la primera:

\;x = -2z

. De la tercera:

\;y = -3z

.

(Y la segunda se cumple sola: $\;2z - 3z + z = 0\;\checkmark$ , coherente con que el rango sea $2$ .)

\text{Soluciones: } \quad (x, y, z) = (-2t,\, -3t,\, t) = t\,(-2, -3, 1), \qquad t \in \mathbb{R}

Solución con $x = 2$ . Imponiendo

-2t = 2

se obtiene

t = -1

(x, y, z) = (2,\, 3,\, -1)

Comprobación:

\;2 + 2(-1) = 0\;\checkmark

;

\;-2 + 3 - 1 = 0\;\checkmark

;

\;3 + 3(-1) = 0\;\checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Que el determinante se anule solo dice que el rango no es 3. Para afirmar que vale exactamente $2$ hay que exhibir un menor de orden 2 no nulo en cada caso: son tres comprobaciones de diez segundos y es donde se reparten los puntos del apartado a).

En b), no te quedes en la solución trivial: el sistema es homogéneo y compatible indeterminado, así que hay una recta de soluciones. Da la solución general en forma paramétrica y luego ajusta el parámetro para que $x=2$ ; ir directamente a buscar "la" solución con $x=2$ sin tener la general es dar palos de ciego.