Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Matrices

Andalucía · 2008 · Reserva 6 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 3. Dada la matriz

A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & k \\ k & 1 & 3 \\ 1 & 7 & k\end{pmatrix}

a) [1,25 puntos] Estudia el rango de $A$ en función de los valores del parámetro

k

.

b) [1,25 puntos] Para

k = 0

, halla la matriz inversa de

A

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\det A = 4k^{2}-12 = 4\,(k^{2}-3) = 0 \iff k = \pm\sqrt3\;}

\boxed{\;\operatorname{rg}A = 3 \text{ si } k\neq\pm\sqrt3; \quad \operatorname{rg}A = 2 \text{ si } k = \pm\sqrt3\;}

\boxed{\;k = 0: \ \det A = -12 \neq 0\;}

\boxed{\;A^{-1} = \begin{pmatrix} \tfrac74 & 0 & -\tfrac34 \\ -\tfrac14 & 0 & \tfrac14 \\ \tfrac{1}{12} & \tfrac13 & -\tfrac{1}{12}\end{pmatrix}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

a) Se calcula $\det A$ (sale un polinomio de segundo grado en $k$ ) y, en cada raíz, se busca un menor de orden $2$ no nulo para confirmar que el rango es $2$ y no $1$ .
b) Con $k = 0$ el determinante es $-12 \neq 0$ (los valores críticos son $\pm\sqrt3$ ), así que la inversa existe: adjunta traspuesta dividida por el determinante.

Desarrollo

a) El determinante. Desarrollando por la primera fila:

\det A = 1\,(k-21)-3\,\bigl(k^{2}-3\bigr)+k\,(7k-1)

= k-21-3k^{2}+9+7k^{2}-k = 4k^{2}-12

\det A = 4\,\bigl(k^{2}-3\bigr) = 0 \;\Longleftrightarrow\; k = \pm\sqrt3

Caso $k\neq\pm\sqrt3$ :

\operatorname{rg}A = 3

Caso $k = \sqrt3$ : el menor

\begin{vmatrix} 1 & 3 \\ \sqrt3 & 1\end{vmatrix} = 1-3\sqrt3 \neq 0

\operatorname{rg}A = 2

Caso $k = -\sqrt3$ : el menor

\begin{vmatrix} 1 & 3 \\ -\sqrt3 & 1\end{vmatrix} = 1+3\sqrt3 \neq 0

\operatorname{rg}A = 2

\operatorname{rg}A = \begin{cases} 3 & \text{si } k\neq\pm\sqrt3 \\ 2 & \text{si } k = \pm\sqrt3\end{cases}

b) La inversa para $k = 0$ .

A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 3 \\ 1 & 7 & 0\end{pmatrix} \qquad \det A = 4\,(0-3) = -12 \neq 0

Los cofactores.

\begin{array}{lll} A_{11} = \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 7 & 0\end{vmatrix} = -21 & A_{12} = -\begin{vmatrix} 0 & 3 \\ 1 & 0\end{vmatrix} = 3 & A_{13} = \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 7\end{vmatrix} = -1 \\[3mm] A_{21} = -\begin{vmatrix} 3 & 0 \\ 7 & 0\end{vmatrix} = 0 & A_{22} = \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 0\end{vmatrix} = 0 & A_{23} = -\begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 7\end{vmatrix} = -4 \\[3mm] A_{31} = \begin{vmatrix} 3 & 0 \\ 1 & 3\end{vmatrix} = 9 & A_{32} = -\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 3\end{vmatrix} = -3 & A_{33} = \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 1\end{vmatrix} = 1\end{array}

La adjunta traspuesta, dividida por $\det A = -12$ :

A^{-1} = \frac{1}{-12}\begin{pmatrix} -21 & 0 & 9 \\ 3 & 0 & -3 \\ -1 & -4 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \tfrac74 & 0 & -\tfrac34 \\[1mm] -\tfrac14 & 0 & \tfrac14 \\[1mm] \tfrac{1}{12} & \tfrac13 & -\tfrac{1}{12}\end{pmatrix}

Comprobación (primera fila de

A\,A^{-1}

1\cdot\tfrac74+3\left(-\tfrac14\right)+0 = \tfrac74-\tfrac34 = 1 \;\checkmark

0+0+0 = 0 \;\checkmark \qquad -\tfrac34+\tfrac34+0 = 0 \;\checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

En cada raíz del determinante hay que exhibir un menor de orden 2 no nulo. Decir "como $\det A = 0$ , el rango es $2$ " no vale: podría ser $1$ .

Que las raíces sean irracionales ( $\pm\sqrt3$ ) no cambia nada del procedimiento; solo hay que operar con cuidado al evaluar los menores.

Antes de invertir en b), comprueba que $k = 0$ no es crítico: $\;4(0-3) = -12 \neq 0$ . Es un paso de una línea que justifica todo lo demás.