Matemáticas IIDifícilProblema · 2,5 pts

Matrices

Andalucía · 2010 · Junio · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 3. Sean las matrices

A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & m & 3 \\ 4 & 1 & -m\end{pmatrix}, \qquad B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 2 \\ -1 & 1\end{pmatrix} \qquad \text{y} \qquad C = \begin{pmatrix} 5 & -3 & 4 \\ -3 & -2 & 2\end{pmatrix}

a) [0,5 puntos] Indica los valores de

m

para los que

A

es invertible.

b) [2 puntos] Resuelve la ecuación matricial

\;XA-B^{t} = C\;

para

m = 0

. (

B^{t}

es la matriz traspuesta de

B

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\det A = -m^{2}+4m-3 = -(m-1)(m-3)\;}

\boxed{\;\text{a) Invertible} \iff m\neq1 \ \text{y} \ m\neq3\;}

\boxed{\;\text{b) } XA = C+B^{t} = \begin{pmatrix} 6 & 0 & 3 \\ -3 & 0 & 3\end{pmatrix} \Rightarrow X = (C+B^{t})A^{-1}\;}

\boxed{\;X = \begin{pmatrix} 6 & 3 & 0 \\ -3 & 0 & 0\end{pmatrix}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

a) $A$ invertible $\iff \det A \neq 0$ .
b) Antes de calcular, comprueba las dimensiones: $B^{t}$ y $C$ son $2\times3$ y $A$ es $3\times3$ , así que $X$ tiene que ser $2\times3$ para que $XA$ sea $2\times3$ .

XA = C+B^{t} \;\Longrightarrow\; X = \bigl(C+B^{t}\bigr)A^{-1}

(la inversa entra por la derecha, porque

A

está a la derecha de

X

Desarrollo

a) El determinante. Desarrollando por la primera fila:

\det A = 1\cdot\begin{vmatrix} m & 3 \\ 1 & -m\end{vmatrix}-0+(-1)\cdot\begin{vmatrix} 0 & m \\ 4 & 1\end{vmatrix}

= \bigl(-m^{2}-3\bigr)-\bigl(0-4m\bigr) = -m^{2}+4m-3

\det A = -\bigl(m^{2}-4m+3\bigr) = -(m-1)(m-3)

\textbf{A es invertible} \;\Longleftrightarrow\; m\neq1 \ \text{ y } \ m\neq3

b) Con $m = 0$ .

A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 3 \\ 4 & 1 & 0\end{pmatrix}, \qquad \det A = -(0-1)(0-3) = -3 \neq 0

El segundo miembro.

B^{t} = \begin{pmatrix} 1 & 3 & -1 \\ 0 & 2 & 1\end{pmatrix} \;\Longrightarrow\; C+B^{t} = \begin{pmatrix} 5+1 & -3+3 & 4-1 \\ -3+0 & -2+2 & 2+1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 0 & 3 \\ -3 & 0 & 3\end{pmatrix}

La inversa de $A$ . Los cofactores son

\begin{array}{lll} A_{11} = \begin{vmatrix} 0 & 3 \\ 1 & 0\end{vmatrix} = -3 & A_{12} = -\begin{vmatrix} 0 & 3 \\ 4 & 0\end{vmatrix} = 12 & A_{13} = \begin{vmatrix} 0 & 0 \\ 4 & 1\end{vmatrix} = 0 \\[3mm] A_{21} = -\begin{vmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0\end{vmatrix} = -1 & A_{22} = \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 4 & 0\end{vmatrix} = 4 & A_{23} = -\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 4 & 1\end{vmatrix} = -1 \\[3mm] A_{31} = \begin{vmatrix} 0 & -1 \\ 0 & 3\end{vmatrix} = 0 & A_{32} = -\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 3\end{vmatrix} = -3 & A_{33} = \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0\end{vmatrix} = 0\end{array}

A^{-1} = \frac{1}{-3}\begin{pmatrix} -3 & -1 & 0 \\ 12 & 4 & -3 \\ 0 & -1 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & \tfrac13 & 0 \\ -4 & -\tfrac43 & 1 \\ 0 & \tfrac13 & 0\end{pmatrix}

El producto.

X = \begin{pmatrix} 6 & 0 & 3 \\ -3 & 0 & 3\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & \tfrac13 & 0 \\ -4 & -\tfrac43 & 1 \\ 0 & \tfrac13 & 0\end{pmatrix}

Fila 1:

\;\bigl(6+0+0,\; 2+0+1,\; 0+0+0\bigr) = (6,\; 3,\; 0)

Fila 2:

\;\bigl(-3+0+0,\; -1+0+1,\; 0\bigr) = (-3,\; 0,\; 0)

X = \begin{pmatrix} 6 & 3 & 0 \\ -3 & 0 & 0\end{pmatrix}

Comprobación.

XA = \begin{pmatrix} 6 & 0 & 3 \\ -3 & 0 & 3\end{pmatrix} \;\Longrightarrow\; XA-B^{t} = \begin{pmatrix} 6-1 & 0-3 & 3+1 \\ -3-0 & 0-2 & 3-1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & -3 & 4 \\ -3 & -2 & 2\end{pmatrix} = C \;\checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Comprueba las dimensiones antes de operar. Con $A$ de $3\times3$ y $C$ de $2\times3$ , la incógnita $X$ solo puede ser $2\times3$ : eso ya descarta plantear $X = A^{-1}(C+B^{t})$ .

$A$ multiplica por la derecha en $XA$ , así que la inversa entra por la derecha: $X = M A^{-1}$ . Es la regla que más se falla en las ecuaciones matriciales.

Con matrices que tienen muchos ceros, calcula el determinante por la fila o columna con más ceros y aprovecha esos ceros también en los cofactores.