Matemáticas IIDifícilProblema · 2,5 pts

Determinantes

Andalucía · 2021 · Reserva 3

Enunciado

Ejercicio 5 (bloque B). Considera la matriz

A = \begin{pmatrix} a & \phantom{-}2 & 1 \\ b & -1 & 1 \\ c & \phantom{-}1 & 1 \end{pmatrix}

con determinante igual a

5

.

a) [0,5 puntos] Calcula razonadamente el determinante de

2A^{3}

.

b) [2 puntos] Calcula razonadamente los determinantes

\left|\begin{array}{ccc} 2a & -1 & 3 \\ 2b & \tfrac{1}{2} & 3 \\ 2c & -\tfrac{1}{2} & 3 \end{array}\right| \qquad \text{y} \qquad \left|\begin{array}{ccc} a & b & c \\ a+4 & b-2 & c+2 \\ a+1 & b+1 & c+1 \end{array}\right|

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Resultado

\boxed{\;\text{a)}\quad \bigl|2A^{3}\bigr| = 2^{3}|A|^{3} = 8\cdot 125 = 1000\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad D_{1} = 2\cdot\left(-\tfrac{1}{2}\right)\cdot 3\cdot|A| = -15; \qquad D_{2} = 2\,\bigl|A^{t}\bigr| = 10\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Todo se resuelve con propiedades, sin calcular ningún determinante. Las que hacen falta:

$|k\,M| = k^{n}|M|$ para orden $n$ , y $\bigl|M^{p}\bigr| = |M|^{p}$
Multiplicar una fila o columna por $k$ multiplica el determinante por $k$
Intercambiar dos filas/columnas cambia el signo
Una fila (o columna) que es suma se descompone por linealidad; sumar a una fila un múltiplo de otra no cambia el determinante

El primer determinante de b) se ataca por columnas (los datos

a,b,c

forman la primera columna de

A

). El segundo, por filas, y ahí conviene notar que las tres filas son

(a,b,c)

más algo: restando la primera a las otras dos se simplifica de golpe.

Desarrollo

Llamamos a las columnas de

A

C_{1} = \begin{pmatrix} a \\ b \\ c\end{pmatrix}, \qquad C_{2} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 1\end{pmatrix}, \qquad C_{3} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix}, \qquad |A| = 5

a) Separando las dos propiedades:

\bigl|2A^{3}\bigr| = 2^{3}\cdot\bigl|A^{3}\bigr| = 8\cdot|A|^{3} = 8\cdot 5^{3} = 8\cdot 125 = 1000

(El $2^{3}$ viene de que la matriz es de orden $3$ : el escalar multiplica a las tres filas.)

b) Primer determinante.

D_{1} = \left|\begin{array}{ccc} 2a & -1 & 3 \\ 2b & \tfrac{1}{2} & 3 \\ 2c & -\tfrac{1}{2} & 3 \end{array}\right|

Identificamos cada columna en términos de las de

A

C_{1}' = \begin{pmatrix} 2a \\ 2b \\ 2c\end{pmatrix} = 2\,C_{1}, \qquad C_{2}' = \begin{pmatrix} -1 \\ \tfrac{1}{2} \\ -\tfrac{1}{2}\end{pmatrix} = -\frac{1}{2}\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 1\end{pmatrix} = -\frac{1}{2}\,C_{2}, \qquad C_{3}' = 3\,C_{3}

Sacando los tres factores:

D_{1} = 2\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)\cdot 3\cdot\bigl|C_{1}, C_{2}, C_{3}\bigr| = -3\cdot 5 = -15

Segundo determinante.

D_{2} = \left|\begin{array}{ccc} a & b & c \\ a+4 & b-2 & c+2 \\ a+1 & b+1 & c+1 \end{array}\right|

Ahora trabajamos por filas. Llamando

F = (a, b, c)

a la primera fila, observamos que

F_{2} = (a+4,\; b-2,\; c+2) = F + (4,\, -2,\, 2) = F + 2\,(2,\, -1,\, 1)

F_{3} = (a+1,\; b+1,\; c+1) = F + (1,\, 1,\, 1)

(2,-1,1)

(1,1,1)

son precisamente las columnas segunda y tercera de $A$ , escritas como filas.

Paso 1: restar la primera fila a las otras dos (no altera el determinante):

D_{2} = \left|\begin{array}{ccc} a & b & c \\ 4 & -2 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \end{array}\right|

Paso 2: sacar el factor $2$ de la segunda fila.

D_{2} = 2\left|\begin{array}{ccc} a & b & c \\ 2 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array}\right|

Paso 3: reconocer el determinante que queda. Sus filas son exactamente las columnas de

A

, es decir, es

\bigl|A^{t}\bigr|

\left|\begin{array}{ccc} a & b & c \\ 2 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array}\right| = \bigl|A^{t}\bigr| = |A| = 5

D_{2} = 2\cdot 5 = 10

Comprobación con un caso concreto. Tomando por ejemplo

a = -\frac{5}{2}

b = 0

c = 0

(que da

|A| = 5

), los dos determinantes valen

-15

10

respectivamente.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

En a), separa las dos propiedades: $\bigl|2A^{3}\bigr| = 2^{3}\bigl|A^{3}\bigr|$ y $\bigl|A^{3}\bigr| = |A|^{3}$ . El error clásico es escribir $2\cdot|A|^{3} = 250$ olvidando que el escalar va elevado al orden de la matriz.

En b), decide primero si las combinaciones están por filas o por columnas. En $D_{1}$ los datos $a,b,c$ forman una columna, así que se trabaja por columnas; en $D_{2}$ forman una fila, y ahí la jugada es restar la primera fila a las otras dos, que no cambia el determinante y deja a la vista la matriz traspuesta de $A$ .