Física · 2.º de Bachillerato · Bloque 2

Campo gravitatorio

Una sola ley para la manzana que cae y la Luna que no se escapa: toda masa atrae a toda masa. De esa idea salen el campo que rodea a un planeta, la energía que cuesta escapar de él y las órbitas de los satélites que te dan el GPS.

102problemas de examen
3simulaciones
3apartados
2017–2025Andalucía
1

Campo y potencial gravitatorio

43 problemas en el banco

La idea. Una masa modifica el espacio a su alrededor. Esa modificación se describe con dos magnitudes: el campo $\vec g$, que es un vector y dice qué fuerza sentiría una masa colocada ahí; y el potencial $V$, que es un escalar y dice cuánta energía tendría.

Si vienes del bloque eléctrico, todo te sonará. Con una diferencia enorme: aquí no hay «masas negativas». La gravedad siempre atrae, y por eso el potencial gravitatorio es siempre negativo.

La ley de gravitación universal

Todo parte de la ley de Newton: dos masas puntuales $M$ y $m$ separadas una distancia $r$ se atraen con una fuerza dirigida según la recta que las une, proporcional al producto de las masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia:

$$\vec F = -G\,\frac{M\,m}{r^2}\,\vec u_r \qquad\qquad G = 6{,}67\cdot 10^{-11}\ \text{N}\,\text{m}^2\,\text{kg}^{-2}$$ $\vec u_r$ va de la masa que crea el campo hacia la que lo sufre; el signo menos dice que la fuerza apunta al revés, hacia $M$. Vale también para esferas homogéneas, midiendo $r$ desde su centro.

Tres ideas que se preguntan en teoría: la fuerza es siempre atractiva; las dos masas forman una pareja de acción y reacción (la Tierra tira de ti con la misma fuerza que tú de ella, aunque solo tú notas la aceleración); y con varias masas se aplica el principio de superposición: la fuerza total es la suma vectorial de las que haría cada masa por separado. Dividiendo entre la masa que la sufre sale el campo, $\vec g = \vec F/m = -G\,\dfrac{M}{r^2}\,\vec u_r$: la fuerza que sentiría cada kilogramo colocado en ese punto.

Pregunta de teoría: «¿por qué no notamos la atracción entre dos objetos cotidianos?». Porque $G$ es diminuta: dos personas de $70\ \text{kg}$ a un metro se atraen con unos $3\cdot 10^{-7}\ \text{N}$. Solo cuando una de las masas es un planeta entero el producto $Mm$ compensa lo pequeño de $G$.

Las dos magnitudes, una al lado de la otra

Campo $\vec g$Potencial $V$
Qué esVectorEscalar
Se calcula$|\vec g| = G\dfrac{M}{r^2}$, apuntando hacia la masa$V = -G\dfrac{M}{r}$
Se sumaVectorialmente (por componentes)Sumando escalares, todos negativos
Sobre una masa $m$$\vec F = m\vec g$$E_p = mV$
¿Puede ser cero?Sí: entre dos masas hay un punto donde se cancelaNo (salvo en el infinito): es suma de términos negativos
En el punto donde el campo se anula, el potencial NO se anula. Entre dos masas existe un punto donde los dos campos se cancelan por ser vectores opuestos; pero los potenciales son números negativos que se suman, y una suma de negativos nunca da cero. Es una de las cuestiones teóricas más repetidas del bloque.

Líneas de campo y superficies equipotenciales

Para dibujar el campo se usan dos familias de curvas que se cortan siempre en ángulo recto:

  • Líneas de campo: en cada punto son tangentes a $\vec g$ y llevan su sentido. Alrededor de una masa puntual son rectas radiales que entran en ella: vienen del infinito y mueren en las masas, que son «sumideros» (no hay «fuentes», porque no hay masas negativas). Donde están más juntas, el campo es más intenso.
  • Superficies equipotenciales: los puntos con el mismo potencial $V$. Para una masa puntual o un planeta esférico son esferas concéntricas; dibujadas a saltos iguales de $V$, quedan cada vez más separadas al alejarse. Son perpendiculares a las líneas de campo, y $\vec g$ apunta hacia donde el potencial disminuye.
Dos preguntas de teoría clásicas. ¿Pueden cortarse dos líneas de campo? No: en el punto de corte $\vec g$ tendría dos direcciones a la vez (y por la misma razón dos equipotenciales distintas tampoco se cortan: $V$ tendría dos valores). ¿Qué trabajo hace el campo al mover una masa sobre una equipotencial? Ninguno: $W = -m\,\Delta V = 0$, porque el desplazamiento es perpendicular al campo en todo momento.

La gravedad en la superficie de un planeta

Particulariza el campo en $r = R$ (el radio del planeta) y tienes la famosa $g$:

$$g_0 = \frac{G\,M}{R^2} \qquad\qquad g(h) = \frac{G\,M}{(R+h)^2} = g_0\,\frac{R^2}{(R+h)^2}$$ Comparar planetas es jugar con estos cocientes: doble masa → doble $g$; doble radio → cuatro veces menos.

Los problemas de «gravedad en otros planetas» casi nunca piden números raros: piden razonar con proporciones. Si un planeta tiene la mitad de radio que la Tierra y la misma densidad, ¿cuánto vale su $g$? Escribe $g$ en función de lo que te den (masa, radio, densidad) y compara.

Cuando entra la densidad, escribe la masa de la esfera homogénea, $M = \rho\cdot\frac{4}{3}\pi R^3$, y sustitúyela:

$$g_0 = \frac{G\,M}{R^2} = \frac{4}{3}\,\pi\,G\,\rho\,R$$ Con la misma densidad, $g_0$ es proporcional al radio: el planeta de la pregunta, con la mitad de radio, tiene la mitad de $g$.

¿Y si en vez de subir se baja? A una profundidad $d$ dentro de un planeta homogéneo, la capa que queda por encima no ejerce campo neto y solo atrae la esfera interior, así que $g$ disminuye linealmente hasta anularse en el centro: $g = g_0\,\dfrac{R-d}{R}$. Fuera del planeta el campo cae como $1/r^2$; dentro, es proporcional a $r$.

En el punto entre dos masas donde el campo gravitatorio total se anula, ¿qué vale el potencial gravitatorio?

Negativo. El campo es un vector y ahí los dos vectores se cancelan; el potencial es un escalar siempre negativo ($-GM/r$), y la suma de dos números negativos no puede dar cero. Campo y potencial son magnitudes independientes: que una se anule no dice nada de la otra.

Míralo

Campo y potencial gravitatorio Abrir aparte ↗
Pruébalo Están sembradas las masas del ejemplo de abajo ($M$ y $4M$). La simulación marca el punto donde el campo se anula: fíjate en que está más cerca de la masa pequeña. Lleva la sonda hasta ahí y lee el potencial: no es cero. Después activa el pozo 3D: el potencial es siempre un embudo hacia abajo — no hay colinas en gravitación.
Ejemplo resuelto Cuestión tipo de Selectividad

Dos masas puntuales $m_1 = 10\,\text{kg}$ y $m_2 = 40\,\text{kg}$ están separadas $6\,\text{m}$. Halla el punto del segmento que las une donde el campo gravitatorio se anula, y el valor del potencial gravitatorio en ese punto.

Dato: $G = 6{,}67\cdot 10^{-11}\,\text{N}\,\text{m}^2\,\text{kg}^{-2}$.

Ver la solución paso a paso

El punto de campo nulo

Solo puede estar entre las masas (fuera, los dos campos apuntan en el mismo sentido). Llamando $d_1$ a la distancia a $m_1$ y $d_2$ a la distancia a $m_2$:

$$\frac{G\,m_1}{d_1^{\,2}} = \frac{G\,m_2}{d_2^{\,2}} \quad\Longrightarrow\quad \frac{d_2}{d_1} = \sqrt{\frac{m_2}{m_1}} = \sqrt{4} = 2$$

Con $d_1 + d_2 = 6$ y $d_2 = 2d_1$, sale $d_1 = 2\,\text{m}$: el punto está a 2 m de la masa pequeña (y a 4 m de la grande). Tiene sentido: para que la masa cuádruple «empate», hay que acercarse a la pequeña.

El potencial en ese punto

Es un escalar: se suma sin descomponer nada, cada término con su signo menos:

$$V = -G\left(\frac{m_1}{d_1} + \frac{m_2}{d_2}\right) = -6{,}67\cdot 10^{-11}\left(\frac{10}{2} + \frac{40}{4}\right) = -1{,}0\cdot 10^{-9}\ \text{J}\,\text{kg}^{-1}$$
Contraste típico de examen: el campo se anula en ese punto y el potencial no. Si el enunciado te pregunta «razone si ambas magnitudes pueden anularse a la vez», ésta es la situación que debes describir.

Errores frecuentes

Recogidos de los consejos de los problemas de este apartado.

  • Olvidar el signo menos del potencial, o «quitárselo» al final porque queda raro. El potencial gravitatorio es siempre negativo.
  • Sumar los campos de dos masas como números cuando los vectores no están alineados. El campo se suma por componentes.
  • Confundir $g$ (el campo, que depende del planeta y del punto) con $G$ (la constante universal).
  • Usar $r^2$ en el potencial o $r$ sin cuadrado en el campo. Campo con cuadrado, potencial sin él.
  • En comparaciones entre planetas, mezclar radios en km con datos en unidades del SI.
43problemas de campo y potencial en el banco
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Energía y conservación

33 problemas en el banco

La idea. La gravedad es una fuerza conservativa: el trabajo que hace no depende del camino, solo de dónde empiezas y dónde acabas. Eso permite olvidarse de las fuerzas y hacer contabilidad de energía — el método que resuelve la mayoría de los problemas de este apartado.

La única contabilidad que rompe el balance es el rozamiento: se lleva energía mecánica y no la devuelve.

$$E_p = -\frac{G\,M\,m}{r}$$ Con origen en el infinito: la energía potencial es negativa a cualquier distancia finita, y crece (hacia cero) al alejarse.

Trabajo y energía: las tres piezas del balance

El trabajo de una fuerza. Si una fuerza constante $\vec F$ actúa mientras el cuerpo se desplaza una distancia $d$ en línea recta:

$$W = \vec F\cdot\Delta\vec r = F\,d\cos\alpha$$ $\alpha$ es el ángulo entre la fuerza y el desplazamiento. Se mide en julios (J).

El signo lo pone el ángulo: positivo si la fuerza ayuda al movimiento ($\alpha < 90°$), negativo si se opone (el rozamiento, con $\alpha = 180°$: $W_{roz} = -\mu N d$) y nulo si es perpendicular a él (la normal sobre una rampa, o la gravedad sobre un satélite en órbita circular).

El trabajo del campo. La gravedad es conservativa, como la fuerza elástica o la eléctrica (el rozamiento no lo es): su trabajo no depende del camino, es nulo en una trayectoria cerrada y se calcula restando energías potenciales:

$$W_{A\to B} = -\Delta E_p = E_p(A) - E_p(B) = m\,(V_A - V_B) = G\,M\,m\left(\frac{1}{r_B} - \frac{1}{r_A}\right)$$ Positivo si la masa se acerca a $M$ ($r_B < r_A$): el campo la lleva «cuesta abajo» por sí solo.

Si sale negativo (al alejar la masa), el campo no lo hace espontáneamente: una fuerza externa tiene que aportar, como mínimo (llevándola sin ganar velocidad), $W_{ext} = +\Delta E_p$. En la PAU se pide a menudo interpretar ese signo: «¿quién realiza el trabajo?».

El teorema de las fuerzas vivas. El trabajo de todas las fuerzas que actúan (el de la resultante) es la variación de energía cinética, haya o no rozamiento:

$$W_{total} = \Delta E_c = \tfrac{1}{2}m v_f^2 - \tfrac{1}{2}m v_i^2$$ Separando el trabajo de las fuerzas conservativas ($-\Delta E_p$) del de las demás sale el balance de energía: $W_{nc} = \Delta E_m$. Sin fuerzas no conservativas, $E_m$ se conserva.
No cuentes el peso dos veces. O va como trabajo (fuerzas vivas: $W_{peso} + W_{roz} + \dots = \Delta E_c$) o como energía potencial (balance de energía mecánica: $W_{roz} = \Delta E_c + \Delta E_p$), pero nunca en los dos lados a la vez.

¿$mgh$ o $-GMm/r$?

$E_p = mgh$$E_p = -\dfrac{GMm}{r}$
Vale cuando…La altura es pequeña frente al radio ($h \ll R$): $g$ casi constanteSiempre
El cero está…Donde tú lo pongas (el suelo, normalmente)En el infinito
Problemas típicosPlanos inclinados, caídas, lanzamientos cortosSatélites, velocidad de escape, cambios de órbita
$mgh$ es una aproximación de andar por casa. Sirve mientras $g$ no cambie apreciablemente con la altura. Para un satélite a 400 km, ya no: hay que usar la expresión general. Usar $mgh$ en un problema de órbitas es de los errores más caros del bloque.

Caída libre y lanzamiento vertical

Cerca de la superficie, con $g$ constante y sin rozamiento con el aire, un cuerpo que sube o baja en vertical lleva un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado con aceleración $-g$ (tomando positivo hacia arriba). Todos los cuerpos caen con la misma aceleración, sea cual sea su masa:

$$y = y_0 + v_0\,t - \tfrac{1}{2}\,g\,t^2 \qquad\quad v = v_0 - g\,t \qquad\quad v^2 = v_0^2 - 2g\,(y - y_0)$$ La tercera es la conservación de la energía con $mgh$ disfrazada. Altura máxima: $h_{max} = v_0^2/(2g)$; al volver al punto de salida, la misma rapidez que al salir, hacia abajo.

Si piden velocidades o alturas, suele ser más corto ir por energía; si piden tiempos, hacen falta las ecuaciones del movimiento.

¿Cuándo deja de valer? Cuando la altura alcanzada ya no es pequeña frente a $R$. Si $v_0^2/(2g)$ te da cientos de kilómetros, rehaz el balance con la expresión general: $\tfrac{1}{2}mv_0^2 - \dfrac{GMm}{R} = -\dfrac{GMm}{R+h}$. Llevado al extremo, pidiendo que la altura sea infinita, ese mismo balance da la velocidad de escape.

La velocidad de escape

¿Con qué velocidad mínima hay que lanzar algo para que no vuelva? Se responde con pura conservación: que llegue al infinito ($E_p = 0$) justo sin velocidad ($E_c = 0$):

$$\frac{1}{2}mv_e^2 - \frac{GMm}{R} = 0 \qquad\Longrightarrow\qquad v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$$ En la Tierra, unos $11{,}2\ \text{km/s}$. La masa $m$ del proyectil se cancela: no depende de lo que lances.

Para escapar del campo gravitatorio terrestre, un proyectil de 2000 kg necesita, respecto a uno de 1000 kg, una velocidad de lanzamiento…

La misma. En la condición de escape, la masa del proyectil aparece en la energía cinética y en la potencial, y se cancela: $v_e = \sqrt{2GM/R}$ solo depende del planeta. Necesitará el doble de energía, sí — pero la misma velocidad.

Si piden fuerzas o aceleraciones: la segunda ley de Newton

El balance de energía da velocidades y distancias, pero no aceleraciones ni fuerzas. Para eso está la segunda ley de Newton: la resultante de las fuerzas es la masa por la aceleración, $\sum\vec F = m\,\vec a$. Si el cuerpo está en reposo o se mueve con velocidad constante, está en equilibrio: $\sum\vec F = 0$.

En un plano inclinado se toman ejes paralelo y perpendicular a la rampa y se descompone el peso: $mg\,\text{sen}\,\alpha$ a lo largo de la rampa y $mg\cos\alpha$ contra ella. En la dirección perpendicular no hay movimiento, así que $N = mg\cos\alpha$, y el rozamiento vale $F_r = \mu N$, siempre opuesto al movimiento. En la dirección de la rampa:

$$\text{sube:}\quad a = -g\,(\text{sen}\,\alpha + \mu\cos\alpha) \qquad\qquad \text{baja:}\quad a = g\,(\text{sen}\,\alpha - \mu\cos\alpha)$$ Positivo en el sentido del movimiento. Al subir, peso y rozamiento frenan a la vez; al bajar, el rozamiento resta.

Con los datos del ejemplo de abajo, al subir $a = -7{,}45\ \text{m}\,\text{s}^{-2}$, y $d = v_0^2/(2|a|)$ da los mismos $2{,}42\ \text{m}$ que el balance de energía: los dos caminos son equivalentes.

Arriba el bloque se para, pero eso no garantiza que vuelva a bajar. Con un solo coeficiente $\mu$, baja solo si $mg\,\text{sen}\,\alpha > \mu\,mg\cos\alpha$, es decir, si $\text{tg}\,\alpha > \mu$. Con $30°$ y $\mu = 0{,}3$: $\text{tg}\,30° = 0{,}58 > 0{,}3$, así que baja, con $a = 2{,}4\ \text{m}\,\text{s}^{-2}$.

Míralo: el balance de energía en acción

Plano inclinado con rozamiento Abrir aparte ↗
Pruébalo Están sembrados los datos del ejemplo de abajo. Mira la barra de energía mientras el bloque sube: la cinética se reparte entre potencial y disipada (la roja, que solo crece). Después pon $\mu = 0$ y repite: sin rozamiento la energía mecánica se conserva y la barra roja desaparece. Fíjate también en que la normal vale $mg\cos\alpha$, no $mg$.
Ejemplo resuelto Andalucía · 2017 · Reserva

Un bloque de $2\,\text{kg}$ se lanza hacia arriba por una rampa rugosa ($\mu = 0{,}3$) que forma $30°$ con la horizontal, con velocidad inicial $v_0 = 6\,\text{m}\,\text{s}^{-1}$. Calcula la altura máxima que alcanza.

Dato: $g = 9{,}8\,\text{m}\,\text{s}^{-2}$.

Ver la solución paso a paso

El balance, con el rozamiento dentro

Entre el punto de salida y el punto más alto (donde $v = 0$), la energía cinética inicial se reparte entre la potencial ganada y el trabajo del rozamiento a lo largo de la distancia $d$ recorrida sobre la rampa:

$$\frac{1}{2}mv_0^2 = mgd\,\text{sen}\,\alpha + \mu\,mg\cos\alpha\; d$$

Ojo a la normal: en un plano inclinado es $N = mg\cos\alpha$, no $mg$. Despejando $d$:

$$d = \frac{v_0^2}{2g\,(\text{sen}\,\alpha + \mu\cos\alpha)} = \frac{36}{2\cdot 9{,}8\,(0{,}5 + 0{,}3\cdot 0{,}866)} = 2{,}42\ \text{m}$$

De distancia sobre la rampa a altura

$$h = d\,\text{sen}\,\alpha = 2{,}42\cdot 0{,}5 = 1{,}21\ \text{m}$$
El rozamiento trabaja sobre la distancia recorrida $d$, pero el peso solo «cobra» por la altura $h = d\,\text{sen}\,\alpha$. Mezclar las dos longitudes es el fallo clásico de este tipo de problema.

Errores frecuentes

Recogidos de los consejos de los 33 problemas de este apartado.

  • Aplicar «la energía mecánica se conserva» habiendo rozamiento. Con rozamiento el balance es $E_{m,f} = E_{m,i} + W_{roz}$, y ese trabajo es negativo.
  • Usar $mgh$ en problemas de satélites o escape, donde $g$ ya no es constante.
  • Poner la normal igual a $mg$ en un plano inclinado. Es $mg\cos\alpha$.
  • Confundir la distancia recorrida sobre la rampa con la altura ganada.
  • Creer que la velocidad de escape depende de la masa lanzada, o confundirla con la velocidad orbital.
33problemas de energía y trabajo en el banco
3simulaciones del bloque
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Satélites y órbitas

26 problemas en el banco

La idea. Un satélite no «flota»: está cayendo todo el tiempo. Lo que pasa es que su velocidad lateral hace que la caída nunca lo lleve al suelo. En una órbita circular, la gravedad es la fuerza centrípeta — y de esa igualdad sale todo el apartado.

$$\frac{G\,M\,m}{r^2} = \frac{m\,v^2}{r} \qquad\Longrightarrow\qquad v = \sqrt{\frac{G\,M}{r}} \qquad\qquad T^2 = \frac{4\pi^2}{G\,M}\,r^3$$ La segunda es la 3.ª ley de Kepler: el cuadrado del periodo va con el cubo del radio. La masa del satélite se cancela.

Las leyes de Kepler y el momento angular

Kepler las dedujo de observaciones astronómicas antes de que Newton explicase por qué se cumplen:

  1. De las órbitas: los planetas describen elipses con el Sol en uno de los focos.
  2. De las áreas: la recta Sol-planeta barre áreas iguales en tiempos iguales. Por eso el planeta va más deprisa en el perihelio (el punto más cercano) que en el afelio (el más lejano).
  3. De los periodos: $T^2 = k\,r^3$, con $r$ el semieje mayor (el radio, si la órbita es circular) y $k = 4\pi^2/(GM)$, la misma para todo lo que orbita alrededor del mismo astro.

La segunda ley es la conservación del momento angular, $\vec L = \vec r\times m\vec v$. La fuerza gravitatoria es central (paralela a $\vec r$), así que su momento respecto al astro es nulo y $\vec L$ no cambia: ni en módulo, ni en dirección (la órbita es plana), ni en sentido (el planeta no invierte su giro). En el perihelio y el afelio la velocidad es perpendicular al radio, $L = m\,r\,v$, y queda:

$$r_p\,v_p = r_a\,v_a$$ Más cerca, más deprisa. En una órbita circular $r$ y $v$ son constantes y la conservación se cumple sin más.
Pista de Selectividad: «Justifique si la velocidad de un planeta es constante a lo largo de su órbita». $\vec L$ se conserva porque la fuerza es central; si $r$ cambia (elipse), $v$ también, y es máxima en el perihelio. La energía mecánica también se conserva: al acercarse, lo que pierde de potencial lo gana en cinética.

Las tres energías de una órbita

MagnitudExpresiónDetalle que cae en examen
Cinética$E_c = \dfrac{GMm}{2r}$Positiva; sale de sustituir $v$ orbital
Potencial$E_p = -\dfrac{GMm}{r}$Negativa y el doble de grande que $E_c$
Mecánica$E_m = -\dfrac{GMm}{2r}$Negativa: el satélite está ligado
$r$ es la distancia al centro del planeta, no la altura. Siempre $r = R + h$. Meter la altura «a pelo» en las fórmulas es, con diferencia, el error número uno de todo el bloque — y arrastra el problema entero.
¿Por qué la energía mecánica orbital es negativa?

Suma las dos:

$$E_m = E_c + E_p = \frac{GMm}{2r} - \frac{GMm}{r} = -\frac{GMm}{2r}$$

Negativa significa ligado: para llevar el satélite al infinito (donde $E_m = 0$) hay que aportarle energía. Un objeto con energía mecánica positiva no orbita: escapa. Por eso «subir» un satélite a una órbita más alta cuesta energía, aunque en la órbita alta vaya más despacio.

Poner un satélite en órbita y cambiarlo de órbita

Como en cada órbita circular la energía mecánica vale $-GMm/(2r)$, la energía que hay que aportar es siempre la energía mecánica final menos la inicial. Para ponerlo en órbita desde la superficie, donde (despreciando la rotación del planeta) solo tiene energía potencial:

$$\Delta E = -\frac{GMm}{2r} - \left(-\frac{GMm}{R}\right) = G\,M\,m\left(\frac{1}{R} - \frac{1}{2r}\right)$$ Con $r = R + h$, como siempre.

Y para pasarlo de una órbita de radio $r_1$ a otra de radio $r_2$:

$$\Delta E = -\frac{GMm}{2r_2} - \left(-\frac{GMm}{2r_1}\right) = \frac{G\,M\,m}{2}\left(\frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2}\right)$$ Positiva si sube ($r_2 > r_1$). Para sacarlo de su órbita hasta el infinito hacen falta $+GMm/(2r)$: lo justo para llevar $E_m$ a cero.
Subir de órbita no cuesta la diferencia de energía potencial. Al subir, $E_p$ aumenta pero $E_c$ disminuye (la órbita alta es más lenta), y la energía necesaria es solo la mitad de $\Delta E_p$. Calcúlala siempre con $E_m$, nunca con $E_p$ o $E_c$ sueltas.

Dos satélites de masas $m$ y $3m$ describen la misma órbita circular alrededor de la Tierra. ¿Cuál se mueve más deprisa?

Igual de rápido. En $v = \sqrt{GM/r}$ no aparece la masa del satélite: se cancela al igualar gravedad y centrípeta, igual que en la caída libre todos los cuerpos caen con la misma $g$. El pesado sí necesita más fuerza — y la tiene, porque la gravedad sobre él es mayor en la misma proporción.

Míralo

Satélites y órbitas Abrir aparte ↗
Pruébalo Está sembrada la órbita del ejemplo de abajo (400 km de altura, $7{,}67\ \text{km/s}$: la ISS, más o menos). Baja un poco la velocidad de lanzamiento y mira cómo la circunferencia se convierte en elipse — o en impacto. Súbela hacia $11{,}2\ \text{km/s}$ y verás la trayectoria de escape. Activa después las áreas de Kepler: en la elipse, el satélite corre más cuanto más cerca del planeta.
Ejemplo resuelto Problema tipo de Selectividad

Un satélite de $1000\,\text{kg}$ describe una órbita circular a $400\,\text{km}$ de altura sobre la superficie terrestre. Calcula su velocidad orbital y su periodo.

Datos: $G = 6{,}67\cdot 10^{-11}\,\text{N}\,\text{m}^2\,\text{kg}^{-2}$; $M_T = 5{,}97\cdot 10^{24}\,\text{kg}$; $R_T = 6371\,\text{km}$.

Ver la solución paso a paso

Primero, el radio de verdad

$$r = R_T + h = 6371 + 400 = 6771\ \text{km} = 6{,}771\cdot 10^{6}\ \text{m}$$

Todo a metros antes de tocar ninguna fórmula.

La velocidad orbital

$$v = \sqrt{\frac{GM}{r}} = \sqrt{\frac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 5{,}97\cdot 10^{24}}{6{,}771\cdot 10^{6}}} = 7{,}67\cdot 10^{3}\ \text{m}\,\text{s}^{-1}$$

Unos $7{,}7\ \text{km/s}$ — nota que la masa del satélite no se ha usado.

El periodo

$$T = \frac{2\pi r}{v} = \frac{2\pi\cdot 6{,}771\cdot 10^{6}}{7{,}67\cdot 10^{3}} = 5{,}5\cdot 10^{3}\ \text{s} \approx 92\ \text{minutos}$$

Hora y media por vuelta: por eso los astronautas de la ISS ven dieciséis amaneceres al día.

Comprobación rápida de orden de magnitud: cualquier órbita baja terrestre sale siempre cerca de $8\ \text{km/s}$ y hora y media de periodo. Si te da otra cosa, busca el error (casi siempre: la altura sin sumar al radio, o kilómetros sin pasar a metros).

El satélite geoestacionario

Es el que está siempre sobre el mismo punto del ecuador porque gira a la vez que la Tierra. Eso exige tres condiciones: órbita circular y ecuatorial, recorrida en el mismo sentido en que rota la Tierra, y periodo de un día, $T = 24\ \text{h} = 86\,400\ \text{s}$ (así se toma en los problemas). Con el periodo fijado, la 3.ª ley de Kepler fija el radio: solo hay una órbita geoestacionaria.

$$r = \sqrt[3]{\frac{G\,M_T\,T^2}{4\pi^2}} = \sqrt[3]{\frac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 5{,}97\cdot 10^{24}\cdot (86\,400)^2}{4\pi^2}} = 4{,}22\cdot 10^{7}\ \text{m}$$ Altura: $h = r - R_T \approx 35\,900\ \text{km}$ (el radio orbital es unas 6,6 veces el terrestre). Velocidad: $v = 2\pi r/T \approx 3{,}07\ \text{km/s}$. La masa del satélite no interviene.
Trampa habitual: «¿Puede haber un satélite geoestacionario sobre Madrid?». No. La fuerza gravitatoria es central, así que toda órbita está en un plano que pasa por el centro de la Tierra; un satélite que acompañara a Madrid describiría un círculo con el centro en el eje terrestre, pero por encima del plano del ecuador, y la gravedad, que apunta al centro de la Tierra, no puede mantenerlo en él. Por eso todos los geoestacionarios están sobre el ecuador.

Errores frecuentes

Recogidos de los consejos de los 26 problemas de este apartado.

  • Usar la altura $h$ en lugar de $r = R + h$. El error número uno del bloque.
  • Olvidar el 2 del denominador en $E_m = -GMm/(2r)$, o darla positiva.
  • Aplicar la 3.ª ley de Kepler mezclando km y m, o comparando órbitas con datos en unidades distintas.
  • Confundir la velocidad orbital ($\sqrt{GM/r}$) con la de escape ($\sqrt{2GM/R}$) — se diferencian en un factor $\sqrt 2$ y en dónde se evalúan.
  • Creer que un satélite más masivo orbita más despacio (la masa se cancela).
26problemas de satélites y órbitas en el banco
1simulación con transferencias de Hohmann incluidas
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El bloque de un vistazo

Si tuvieras que quedarte con seis frases del bloque entero, serían éstas:

  1. El campo $\vec g$ es un vector que apunta hacia la masa y se suma por componentes; el potencial es un escalar siempre negativo que se suma sin descomponer.
  2. Entre dos masas hay un punto de campo nulo (más cerca de la pequeña), pero el potencial no se anula nunca.
  3. $mgh$ solo vale cerca de la superficie; para órbitas y escapes, $E_p = -GMm/r$ con el cero en el infinito.
  4. La velocidad de escape, $\sqrt{2GM/R}$, no depende de la masa lanzada.
  5. En órbita circular la gravedad es la centrípeta: $v = \sqrt{GM/r}$, $T^2 \propto r^3$, y siempre con $r = R + h$.
  6. La energía mecánica orbital es negativa, $-GMm/(2r)$: estar ligado significa exactamente eso.
102problemas de examen de este bloque
3simulaciones del bloque
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Apuntes · Eruditio · contenido propio elaborado a partir de los exámenes oficiales de Andalucía

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Problemas de Selectividad

102 problemas · 2017–2025

Todos los enunciados oficiales de Campo gravitatorio caídos en la PAU, con el resultado y la solución desarrollada paso a paso. Se abren en una pestaña nueva, para que no pierdas el hilo de los apuntes.

Mecánica: dinámica, energía y trabajo (33)

Campo y potencial gravitatorio (43)

Satélites, órbitas y leyes de Kepler (26)