FísicaMedioProblema · 2,5 pts

Mecánica: dinámica, energía y trabajo

También trata: Campo y potencial gravitatorio · Satélites, órbitas y leyes de Kepler

Andalucía · 2025 · Reserva 2

Enunciado

a) Una masa puntual está situada en un punto

A(0,d)

y otra masa en el punto

B(0,-4d)

. Deduzca razonadamente la relación entre los valores de las masas para que el campo gravitatorio se anule en el origen.

b1) Un bloque de

3{,}5\,\text{kg}

desciende, partiendo del reposo, por una rampa rugosa que forma un ángulo de

37^\circ

con la horizontal desde una altura de

4\,\text{m}

. Cuando llega al final del plano inclinado, recorre

10\,\text{m}

sobre una superficie horizontal, con igual coeficiente de rozamiento, hasta que se para. Calcule mediante razonamientos energéticos: i) (0,75 puntos) el coeficiente de rozamiento entre el bloque y las superficies; ii) (0,75 puntos) la velocidad del bloque cuando llega al final del plano inclinado.

Dato:

g = 9{,}8\,\text{m}\,\text{s}^{-2}

.

b2) Se quiere poner en órbita un satélite de

200\,\text{kg}

para que dé dos vueltas a la Tierra cada día. Suponiendo que la órbita sea circular, calcule razonadamente: i) (0,5 puntos) el radio de la órbita a la que hay que colocar el satélite; ii) (0,5 puntos) la velocidad orbital; iii) (0,5 puntos) el módulo del momento angular del satélite.

Datos:

G = 6{,}67\times 10^{-11}\,\text{N}\,\text{m}^2\,\text{kg}^{-2}

;

M_T = 5{,}98\times 10^{24}\,\text{kg}

;

R_T = 6370\,\text{km}

;

1\,\text{día} = 24\,\text{h}

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;m_B = 16\,m_A\;}

\boxed{\;\mu = 0{,}261 \qquad v = 7{,}16\ \text{m}\,\text{s}^{-1}\;}

\boxed{\;r = 2{,}66\cdot 10^{7}\ \text{m}\qquad v = 3{,}87\cdot 10^{3}\ \text{m}\,\text{s}^{-1}\qquad L = 2{,}06\cdot 10^{13}\ \text{kg}\,\text{m}^2\,\text{s}^{-1}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

En a) el campo total en el origen es la suma de dos vectores que apuntan hacia sus respectivas masas: uno hacia

+Y

y otro hacia

-Y

. Para que se cancelen basta igualar los módulos, y ahí aparece el cuadrado de la distancia.

En b1) el enunciado exige "razonamientos energéticos": nada de descomponer fuerzas y aplicar cinemática. La energía potencial inicial se gasta íntegramente en rozamiento (el bloque acaba parado), primero en la rampa y después en el suelo.

En b2) "dos vueltas cada día" fija el periodo, y con la tercera ley de Kepler (o igualando gravedad y fuerza centrípeta) sale el radio.

Desarrollo

a) Sea

m_A

la masa en

A(0,d)

m_B

la de

B(0,-4d)

. En el origen:

el campo creado por $m_A$ apunta hacia $A$ , es decir, hacia $+\vec{j}$ , y vale $G m_A/d^2$ ;
el campo creado por $m_B$ apunta hacia $B$ , es decir, hacia $-\vec{j}$ , y vale $G m_B/(4d)^2$ .

Para que el campo total se anule, los módulos deben ser iguales:

\frac{G m_A}{d^2} = \frac{G m_B}{(4d)^2} = \frac{G m_B}{16\,d^2}

\boxed{m_B = 16\,m_A}

La masa más lejana debe ser dieciséis veces mayor, porque el campo decae con el cuadrado de la distancia y la distancia es cuatro veces mayor.

b1) Datos:

m = 3{,}5\,\text{kg}

\alpha = 37^\circ

h = 4\,\text{m}

d_{\text{horiz}} = 10\,\text{m}

.

Longitud recorrida sobre el plano inclinado:

L = \frac{h}{\text{sen}\,37^\circ} = \frac{4}{0{,}602} = 6{,}65\ \text{m}

i) El bloque parte del reposo y acaba en reposo, así que toda la energía potencial inicial se disipa por rozamiento:

m g h = \mu\,m g\cos 37^\circ\cdot L \;+\; \mu\,m g\cdot d_{\text{horiz}}

La masa y

g

se cancelan:

h = \mu\,(L\cos 37^\circ + d_{\text{horiz}})

4 = \mu\,(6{,}65\cdot 0{,}799 + 10) = \mu\cdot 15{,}31

\mu = 0{,}261

ii) Velocidad al final del plano inclinado, aplicando el balance solo a la rampa:

\tfrac{1}{2}m v^2 = m g h - \mu\,m g\cos 37^\circ\cdot L

v = \sqrt{2g\,(h - \mu L\cos 37^\circ)} = \sqrt{2\cdot 9{,}8\,(4 - 0{,}261\cdot 6{,}65\cdot 0{,}799)}

v = \sqrt{19{,}6\cdot 2{,}61} = 7{,}16\ \text{m}\,\text{s}^{-1}

(Se comprueba con el tramo horizontal:

\frac{1}{2}v^2 = \mu g\cdot 10 \Rightarrow v = 7{,}16\,\text{m}\,\text{s}^{-1}

.)

b2) Dos vueltas al día significa

T = \frac{24\ \text{h}}{2} = 12\ \text{h} = 43\,200\ \text{s}

i) Igualando fuerza gravitatoria y centrípeta, con

v = 2\pi r/T

\frac{G M_T m}{r^2} = m\,\frac{4\pi^2 r}{T^2} \quad\Longrightarrow\quad r = \sqrt[3]{\frac{G M_T\,T^2}{4\pi^2}}

r = \sqrt[3]{\frac{3{,}99\cdot 10^{14}\cdot (43\,200)^2}{4\pi^2}} = \sqrt[3]{1{,}885\cdot 10^{22}}

r = 2{,}66\cdot 10^{7}\ \text{m} \approx 26\,620\ \text{km}

(unos

20\,250\,\text{km}

de altura sobre la superficie).

ii) Velocidad orbital:

v = \frac{2\pi r}{T} = \frac{2\pi\cdot 2{,}66\cdot 10^{7}}{43\,200} = 3{,}87\cdot 10^{3}\ \text{m}\,\text{s}^{-1}

iii) Momento angular respecto al centro de la Tierra. Al ser la órbita circular,

\vec{r} \perp \vec{v}

L = m\,v\,r = 200\cdot 3{,}87\cdot 10^{3}\cdot 2{,}66\cdot 10^{7}

L = 2{,}06\cdot 10^{13}\ \text{kg}\,\text{m}^2\,\text{s}^{-1}

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

En b1), en la rampa la normal es $N = mg\cos\alpha$ (no $mg$ ), mientras que en el suelo sí vale $mg$ . Confundirlas es el error que más cuesta en este tipo de problema.

En b2), "dos vueltas al día" es $T = 12\,\text{h}$ , no $24\,\text{h}$ . Y el radio que sale de Kepler se mide desde el centro de la Tierra: réstale $R_T$ solo si te piden la altura.

Paso 1 de 3

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