Campo y potencial gravitatorio

a) i) Falsa. El teorema de las fuerzas vivas dice que el trabajo total es el incremento de energía cinética:$$W_{\text{total}} = \Delta E_c$$Si el trabajo es negativo (una fuerza que se opone al movimiento, como el rozamiento o el peso al subir), la energía cinética disminuye. Además, si se habla del trabajo de una fuerza concreta y no del total, puede ocurrir cualquier cosa: un cuerpo que sube a velocidad constante recibe trabajo positivo de la fuerza que tira de él y su energía cinética no cambia.

ii) Falsa. Una fuerza conservativa realiza trabajo nulo a lo largo de una trayectoria cerrada, o entre dos puntos del mismo valor de energía potencial. Pero entre dos puntos distintos su trabajo es$$W = -\Delta E_p$$que en general no es cero: el peso hace trabajo positivo cuando un cuerpo cae, y es una fuerza conservativa.

b1) i) Masas $M = 200\,\text{kg}$ en $A(0,-3)$ y $B(0,3)$; punto $C(4,0)$.$$r_A = r_B = \sqrt{4^2+3^2} = 5\ \text{m}$$$$g_A = g_B = \frac{G M}{r^2} = \frac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 200}{25} = 5{,}34\cdot 10^{-10}\ \text{N}\,\text{kg}^{-1}$$En el esquema, los dos vectores salen de $C$ apuntando hacia sus masas, simétricos respecto al eje $X$. Los vectores unitarios son $\left(-\frac{4}{5}, \mp\frac{3}{5}\right)$, así que las componentes $y$ se cancelan y las $x$ se suman:$$\vec{g}_C = 2\cdot 5{,}34\cdot 10^{-10}\cdot\left(-\tfrac{4}{5}\right)\vec{i} = -8{,}54\cdot 10^{-10}\ \vec{i}\ \ \text{N}\,\text{kg}^{-1}$$ii) En el origen $(0,0)$, las dos masas son iguales y están a la misma distancia ($3\,\text{m}$), en sentidos opuestos. Sus campos se cancelan exactamente:$$\vec{g}_O = \vec{0} \quad\Longrightarrow\quad \vec{F} = m\,\vec{g}_O = \vec{0}$$La fuerza sobre la masa de $3\,\text{kg}$ situada en el origen es nula.

b2) i) Periodo: $T = 1{,}5\ \text{días} = 36\ \text{h} = 1{,}296\cdot 10^{5}\,\text{s}$.

Igualando fuerza gravitatoria y centrípeta con $v = 2\pi r/T$:$$r = \sqrt[3]{\frac{G M_T\,T^2}{4\pi^2}} = \sqrt[3]{\frac{3{,}99\cdot 10^{14}\cdot (1{,}296\cdot 10^{5})^2}{4\pi^2}}$$$$r = \sqrt[3]{1{,}697\cdot 10^{23}} = 5{,}54\cdot 10^{7}\ \text{m}$$(unos $55\,360\,\text{km}$ desde el centro de la Tierra).

ii) Velocidad que lleva en esa órbita:$$v_{\text{órb}} = \sqrt{\frac{G M_T}{r}} = \sqrt{\frac{3{,}99\cdot 10^{14}}{5{,}54\cdot 10^{7}}} = 2{,}68\cdot 10^{3}\ \text{m}\,\text{s}^{-1}$$Para escapar hace falta energía total nula:$$v_{\text{esc}} = \sqrt{\frac{2 G M_T}{r}} = \sqrt{2}\,v_{\text{órb}} = 3{,}80\cdot 10^{3}\ \text{m}\,\text{s}^{-1}$$Como ya lleva $2{,}68\cdot 10^{3}\,\text{m}\,\text{s}^{-1}$, el incremento de velocidad que hay que suministrarle es$$\Delta v = 3{,}80\cdot 10^{3} - 2{,}68\cdot 10^{3} = 1{,}11\cdot 10^{3}\ \text{m}\,\text{s}^{-1}$$