Campo y potencial gravitatorio

a) Para un satélite en órbita circular, igualando la fuerza gravitatoria a la centrípeta:$$\frac{G M_T m}{r^2} = \frac{m v^2}{r} \quad\Longrightarrow\quad E_c = \tfrac{1}{2}m v^2 = \frac{G M_T m}{2\,r}$$i) Con masas idénticas, $E_c \propto 1/r$. Como $r_A > r_B$:$$E_{c,A} < E_{c,B}$$Tiene mayor energía cinética el satélite $B$, el de la órbita más baja. Cuanto más lejos orbita un satélite, más despacio se mueve.

ii) Con radios iguales, $E_c \propto m$. Como $m_B > m_A$:$$E_{c,B} > E_{c,A}$$De nuevo $B$. Aquí ambos llevan la misma velocidad (no depende de $m$), pero $B$ tiene más masa.

b) i) Distancias desde $C(4,3)$ a cada masa:

• De $A(0,3)$ a $C(4,3)$: desplazamiento $(4,0)$, luego $r_{AC} = 4\,\text{m}$ (horizontal).
• De $B(4,0)$ a $C(4,3)$: desplazamiento $(0,3)$, luego $r_{BC} = 3\,\text{m}$ (vertical).

Módulos de los campos, cada uno dirigido desde $C$ hacia su masa:$$g_A = \frac{G\cdot 10}{4^2} = \frac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 10}{16} = 4{,}17\cdot 10^{-11}\ \text{N}\,\text{kg}^{-1}\quad(\text{hacia } -\vec{i})$$$$g_B = \frac{G\cdot 5}{3^2} = \frac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 5}{9} = 3{,}71\cdot 10^{-11}\ \text{N}\,\text{kg}^{-1}\quad(\text{hacia } -\vec{j})$$En el esquema, desde $C$ salen dos vectores perpendiculares: uno hacia la izquierda (hacia $A$) y otro hacia abajo (hacia $B$). Al ser perpendiculares:$$\vec{g}_C = -4{,}17\cdot 10^{-11}\,\vec{i} - 3{,}71\cdot 10^{-11}\,\vec{j}\ \ \text{N}\,\text{kg}^{-1}$$$$|\vec{g}_C| = \sqrt{(4{,}17)^2 + (3{,}71)^2}\cdot 10^{-11} = 5{,}58\cdot 10^{-11}\ \text{N}\,\text{kg}^{-1}$$b) ii) El potencial es escalar:$$V_C = -G\left(\frac{10}{4} + \frac{5}{3}\right) = -6{,}67\cdot 10^{-11}\,(2{,}5 + 1{,}67)$$$$V_C = -2{,}78\cdot 10^{-10}\ \text{J}\,\text{kg}^{-1}$$b) iii) Potencial en $D(0,0)$, con $r_{AD} = 3\,\text{m}$ y $r_{BD} = 4\,\text{m}$:$$V_D = -G\left(\frac{10}{3} + \frac{5}{4}\right) = -6{,}67\cdot 10^{-11}\,(3{,}33 + 1{,}25) = -3{,}06\cdot 10^{-10}\ \text{J}\,\text{kg}^{-1}$$El trabajo que realiza la fuerza gravitatoria al llevar $m = 4\,\text{kg}$ de $C$ a $D$ es$$W_{C\to D} = m\,(V_C - V_D) = 4\,\bigl(-2{,}78\cdot 10^{-10} + 3{,}06\cdot 10^{-10}\bigr)$$$$W_{C\to D} = 4\cdot 2{,}78\cdot 10^{-11} = 1{,}11\cdot 10^{-10}\ \text{J}$$Discusión del signo. Es positivo. El punto $D$ está globalmente más cerca del conjunto de las dos masas, así que su potencial es menor (más negativo) que el de $C$. La masa se desplaza, por tanto, "cuesta abajo" en el campo: el movimiento es espontáneo, lo impulsa la propia atracción gravitatoria y no hace falta ningún agente externo. Su energía potencial disminuye y esa diferencia se convertiría en energía cinética.