Satélites, órbitas y leyes de Kepler

a) Para un satélite de masa $m$ en órbita circular de radio $r$ alrededor de la Tierra, la fuerza gravitatoria proporciona la fuerza centrípeta:$$\frac{G\,M_T\,m}{r^2} = \frac{m\,v^2}{r}$$La masa del satélite aparece en ambos miembros y se cancela:$$\boxed{v = \sqrt{\frac{G\,M_T}{r}}}$$La afirmación es falsa. La velocidad orbital no depende de la masa del satélite, solo de la masa del astro central y del radio de la órbita. Y el periodo tampoco:$$T = \frac{2\pi r}{v} = 2\pi\sqrt{\frac{r^3}{G\,M_T}}$$A una altura dada, todos los satélites tardan exactamente lo mismo en dar una vuelta, sean de $10\,\text{kg}$ o de $10\,\text{toneladas}$. Es la misma razón por la que todos los cuerpos caen con idéntica aceleración: la masa que aparece en la ley de gravitación (masa gravitatoria) es la misma que aparece en la segunda ley de Newton (masa inercial), y se simplifica.

b) i) Periodo en segundos:$$T = 6\ \text{h} = 6\cdot 3600 = 21\,600\ \text{s}$$Despejando el radio de la tercera ley de Kepler, con $G M_T = 3{,}99\cdot 10^{14}$:$$T = 2\pi\sqrt{\frac{r^3}{G M_T}} \quad\Longrightarrow\quad r = \sqrt[3]{\frac{G\,M_T\,T^2}{4\pi^2}}$$$$r = \sqrt[3]{\frac{3{,}99\cdot 10^{14}\cdot (21\,600)^2}{4\pi^2}} = \sqrt[3]{4{,}71\cdot 10^{21}}$$$$r = 1{,}68\cdot 10^{7}\ \text{m}$$La altura sobre la superficie es$$h = r - R_T = 1{,}68\cdot 10^{7} - 6{,}37\cdot 10^{6} = 1{,}04\cdot 10^{7}\ \text{m}$$es decir, unos $10\,400\ \text{km}$.

b) ii) Velocidad orbital:$$v = \sqrt{\frac{G M_T}{r}} = \sqrt{\frac{3{,}99\cdot 10^{14}}{1{,}68\cdot 10^{7}}} = \sqrt{2{,}38\cdot 10^{7}}$$$$v = 4{,}88\cdot 10^{3}\ \text{m}\,\text{s}^{-1}$$(Comprobación: $v = 2\pi r/T = 2\pi\cdot 1{,}68\cdot 10^{7}/21\,600 = 4{,}88\cdot 10^{3}\,\text{m}\,\text{s}^{-1}$. ✓)