FísicaMedioProblema · 2,5 pts

Campo y potencial gravitatorio

También trata: Mecánica: dinámica, energía y trabajo · Satélites, órbitas y leyes de Kepler

Andalucía · 2025 · Reserva 3

Enunciado

a) El periodo de rotación de Júpiter alrededor del Sol es

12

veces mayor que el periodo de rotación de la Tierra alrededor del Sol. Considerando sus órbitas circulares, conteste razonadamente la veracidad de la siguiente afirmación: la distancia de Júpiter al Sol es

3{,}2

veces mayor que la distancia entre la Tierra y el Sol.

b1) Dos masas puntuales de

300\,\text{kg}

400\,\text{kg}

están situadas en los puntos

A(0,4)\,\text{m}

B(3,0)\,\text{m}

, respectivamente. Calcule razonadamente: i) (0,5 puntos) el potencial gravitatorio en el punto

C(3,4)\,\text{m}

, apoyándose de un esquema; ii) (1 punto) el trabajo que realiza la fuerza gravitatoria para desplazar una tercera masa de

1{,}2\,\text{kg}

desde el origen de coordenadas al punto

C

.

Dato:

G = 6{,}67\times 10^{-11}\,\text{N}\,\text{m}^2\,\text{kg}^{-2}

.

b2) Un bloque de

5\,\text{kg}

asciende con velocidad inicial de

8\,\text{m}\,\text{s}^{-1}

por un plano inclinado

35^\circ

respecto a la horizontal y con rozamiento. El bloque se detiene después de recorrer

2{,}5\,\text{m}

a lo largo del plano. i) (0,25 puntos) Realice un esquema de las fuerzas que intervienen durante el ascenso. ii) (0,5 puntos) Determine el aumento de energía potencial. iii) (0,75 puntos) Calcule, por razonamientos energéticos, el coeficiente de rozamiento entre el bloque y el plano.

Dato:

g = 9{,}8\,\text{m}\,\text{s}^{-2}

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{Falsa: } r_J/r_T = 12^{2/3} = 5{,}24\;}

\boxed{\;V_C = -1{,}33\cdot 10^{-8}\ \text{J}\,\text{kg}^{-1}\qquad W_{O\to C} = -6{,}67\cdot 10^{-10}\ \text{J}\;}

\boxed{\;\Delta E_p = 70{,}3\ \text{J}\qquad \mu = 0{,}894\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

En a) es la tercera ley de Kepler:

T^2 \propto r^3

, luego

r \propto T^{2/3}

. Basta elevar

12

a dos tercios y comparar con el

3{,}2

que propone el enunciado.

En b1) el potencial es escalar: se suman los dos valores con su signo, sin proyectar. Y el trabajo de la fuerza gravitatoria es

W = m(V_{\text{inicial}} - V_{\text{final}})

.

En b2) hay rozamiento, así que la energía mecánica no se conserva: lo que se pierde es exactamente el trabajo del rozamiento.

Desarrollo

a) Tercera ley de Kepler para órbitas circulares alrededor del Sol:

T^2 = \frac{4\pi^2}{G M_S}\,r^3 \quad\Longrightarrow\quad \frac{r_J}{r_T} = \left(\frac{T_J}{T_T}\right)^{2/3}

Con

T_J = 12\,T_T

\frac{r_J}{r_T} = 12^{2/3} = \sqrt[3]{144} = 5{,}24

La distancia de Júpiter al Sol es unas $5{,}24$ veces la de la Tierra, no

3{,}2

. La afirmación es falsa. (El valor real es

\approx 5{,}2\,\text{UA}

, así que el modelo funciona muy bien.)

b1) i) Masas:

m_A = 300\,\text{kg}

A(0,4)

m_B = 400\,\text{kg}

B(3,0)

. Punto

C(3,4)

.

En el esquema,

C

es el vértice que cierra el rectángulo: está a

3\,\text{m}

A

(horizontalmente) y a

4\,\text{m}

B

(verticalmente).

r_{AC} = 3\ \text{m} \qquad r_{BC} = 4\ \text{m}

El potencial es escalar y siempre negativo:

V_C = -G\left(\frac{m_A}{r_{AC}} + \frac{m_B}{r_{BC}}\right) = -6{,}67\cdot 10^{-11}\left(\frac{300}{3} + \frac{400}{4}\right)

V_C = -6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 200 = -1{,}334\cdot 10^{-8}\ \text{J}\,\text{kg}^{-1}

ii) Potencial en el origen

O(0,0)

r_{AO} = 4\,\text{m}

r_{BO} = 3\,\text{m}

V_O = -6{,}67\cdot 10^{-11}\left(\frac{300}{4} + \frac{400}{3}\right) = -6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 208{,}3

V_O = -1{,}390\cdot 10^{-8}\ \text{J}\,\text{kg}^{-1}

Trabajo de la fuerza gravitatoria al llevar

m = 1{,}2\,\text{kg}

O

C

W_{O\to C} = m\,(V_O - V_C) = 1{,}2\,\bigl(-1{,}390\cdot 10^{-8} + 1{,}334\cdot 10^{-8}\bigr)

W_{O\to C} = 1{,}2\cdot(-5{,}56\cdot 10^{-10}) = -6{,}67\cdot 10^{-10}\ \text{J}

Es negativo: el punto

C

tiene mayor potencial (está algo más lejos del conjunto de masas), así que la gravedad se opone al traslado y hay que aportar ese trabajo desde fuera.

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b2) i) Fuerzas durante el ascenso: el peso

\vec{P}

(vertical, hacia abajo), la normal

\vec{N}

(perpendicular al plano) y el rozamiento

\vec{F}_r

(paralelo al plano, hacia abajo, opuesto al movimiento ascendente). No hay fuerza que empuje: el bloque sube por inercia.

ii) Altura ganada tras recorrer

d = 2{,}5\,\text{m}

sobre el plano:

h = d\,\text{sen}\,35^\circ = 2{,}5\cdot 0{,}574 = 1{,}43\ \text{m}

\Delta E_p = m\,g\,h = 5\cdot 9{,}8\cdot 1{,}43 = 70{,}3\ \text{J}

iii) Energía cinética inicial:

E_c = \tfrac{1}{2}m v_0^2 = \tfrac{1}{2}\cdot 5\cdot 8^2 = 160\ \text{J}

Como el bloque se detiene, toda esa energía se reparte entre el aumento de energía potencial y el trabajo (negativo) del rozamiento:

E_c = \Delta E_p + |W_{\text{roz}}| \quad\Longrightarrow\quad |W_{\text{roz}}| = 160 - 70{,}3 = 89{,}7\ \text{J}

Y como

|W_{\text{roz}}| = \mu\,m g\cos 35^\circ\cdot d

89{,}7 = \mu\cdot 5\cdot 9{,}8\cdot 0{,}819\cdot 2{,}5 = \mu\cdot 100{,}3

\mu = 0{,}894

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Consejo

En a) el exponente es $2/3$ , no $1/2$ ni $3/2$ : $r \propto T^{2/3}$ . Si te sale $3{,}2$ es que has usado $\sqrt{12} = 3{,}46$ o algo parecido, que es justo el error que busca el enunciado.

En b2) la normal en un plano inclinado es $N = mg\cos\alpha$ . Y el rozamiento durante el ascenso va hacia abajo, sumándose al efecto del peso: por eso el bloque se frena tan pronto.