Mecánica: dinámica, energía y trabajo

a) i) Verdadero. Es el teorema de las fuerzas vivas (o teorema trabajo-energía cinética), que vale para el trabajo total de todas las fuerzas, sean del tipo que sean:$$W = W_{\text{c}} + W_{\text{nc}} = \Delta E_c$$a) ii) Falso. La relación $W = -\Delta E_p$ es la definición de energía potencial y solo se aplica al trabajo de las fuerzas conservativas:$$W_{\text{c}} = -\Delta E_p$$Como aquí $W$ incluye también el trabajo de las fuerzas no conservativas, en general$$W = -\Delta E_p + W_{\text{nc}} \neq -\Delta E_p$$Solo coincidirían si $W_{\text{nc}} = 0$, es decir, si no hubiera fuerzas no conservativas que trabajen, que es justo lo contrario de lo que dice el enunciado.

b) i) Sobre el bloque actúan tres fuerzas: el peso $\vec{P}$ (vertical hacia abajo, con componentes $mg\,\text{sen}\,30^\circ$ paralela al plano y hacia abajo, y $mg\cos 30^\circ$ perpendicular), la normal $\vec{N}$ (perpendicular al plano, hacia fuera) y el rozamiento $\vec{F}_r$ (paralelo al plano y hacia arriba, opuesto al movimiento de descenso).

b) ii) El desnivel que baja al recorrer $1{,}5\,\text{m}$ sobre el plano es$$h = d\,\text{sen}\,30^\circ = 1{,}5\cdot 0{,}5 = 0{,}75\ \text{m}$$Variación de energía cinética:$$\Delta E_c = \tfrac{1}{2}m(v^2 - v_0^2) = \tfrac{1}{2}\cdot 2\,(4^2 - 2^2) = 16 - 4 = 12\ \text{J}$$Variación de energía potencial (baja, luego disminuye):$$\Delta E_p = -m\,g\,h = -2\cdot 9{,}8\cdot 0{,}75 = -14{,}7\ \text{J}$$El trabajo de las fuerzas no conservativas —aquí solo el rozamiento— es la variación de energía mecánica:$$W_{F_r} = \Delta E_m = \Delta E_c + \Delta E_p = 12 - 14{,}7$$$$W_{F_r} = -2{,}7\ \text{J}$$Negativo, como debe ser: el rozamiento siempre disipa. Y en valor absoluto es pequeño frente a los $14{,}7\,\text{J}$ que aporta el peso, por eso el bloque acelera.