Mecánica: dinámica, energía y trabajo

a.i) No. Solo puede definirse una energía potencial para las fuerzas conservativas, aquellas cuyo trabajo entre dos puntos depende únicamente de las posiciones inicial y final (y es nulo en una trayectoria cerrada); entonces $W_{A\to B} = -\left[E_p(B)-E_p(A)\right]$. El rozamiento es una fuerza no conservativa (disipativa): se opone siempre al movimiento, su trabajo es siempre negativo y depende de la longitud del camino recorrido ($W_r = -F_r\,L$), de modo que en un camino cerrado no es nulo. No existe, por tanto, una función de la posición cuya variación dé su trabajo: no se le puede asociar energía potencial. Su trabajo se traduce en una pérdida de energía mecánica (que se disipa como calor).

a.ii) Tiene más sentido físico la variación de energía potencial. La energía potencial en un punto depende del origen (nivel de referencia) que se elija arbitrariamente —por ejemplo, $E_p = mgh$ con $h=0$ en el suelo, o $E_p = -GMm/r$ con origen en el infinito—, de modo que su valor en un punto está definido salvo una constante. En cambio, $\Delta E_p = E_p(B) - E_p(A) = -W_{A\to B}$ no depende de esa elección y está ligada a una magnitud medible: el trabajo realizado por la fuerza conservativa.

b) Suponemos que el objeto se sube a velocidad constante (sin variar su energía cinética), con una fuerza paralela a la rampa. El trabajo necesario es el que aumenta la energía potencial más el que se pierde por rozamiento:$$W = \Delta E_p + |W_r| = mgh + \mu\,mg\cos\theta\cdot L,\qquad L = \frac{h}{\text{sen}\,\theta}$$$$W = mgh\,(1+\mu\cot\theta),\qquad mgh = 1000\cdot 9{,}8\cdot 40 = 3{,}92\cdot10^{5}\,\text{J}$$i) $\theta = 10^\circ$: $L = 40/\text{sen}\,10^\circ = 230\,\text{m}$ y $\cot 10^\circ = 5{,}67$:$$W_{10} = 3{,}92\cdot10^{5}(1 + 0{,}3\cdot 5{,}67) = 3{,}92\cdot10^{5}\cdot 2{,}70 = 1{,}06\cdot10^{6}\ \text{J}$$(de ellos, $6{,}67\cdot10^{5}\,\text{J}$ se pierden por rozamiento).

ii) $\theta = 20^\circ$: $L = 40/\text{sen}\,20^\circ = 117\,\text{m}$ y $\cot 20^\circ = 2{,}75$:$$W_{20} = 3{,}92\cdot10^{5}(1 + 0{,}3\cdot 2{,}75) = 3{,}92\cdot10^{5}\cdot 1{,}82 = 7{,}15\cdot10^{5}\ \text{J}$$(de ellos, $3{,}23\cdot10^{5}\,\text{J}$ se pierden por rozamiento).

Justificación de la diferencia: el aumento de energía potencial, $mgh$, es el mismo en los dos casos porque el peso es conservativo y solo depende de la altura final. La diferencia se debe al rozamiento, cuyo trabajo sí depende del camino: con la rampa de $10^\circ$ el recorrido es mucho más largo ($230\,\text{m}$ frente a $117\,\text{m}$) y, aunque la normal ($mg\cos\theta$) sea algo mayor, el trabajo disipado $\mu mg\cos\theta\,L = \mu mgh\cot\theta$ es mayor.