Campo y potencial gravitatorio

a) i) No podemos concluirlo. El potencial es un escalar y el campo un vector; están relacionados por el gradiente, es decir, por la rapidez con que varía el potencial:$$\vec{g} = -\nabla V$$Dos puntos pueden tener el mismo valor de $V$ y encontrarse en zonas donde el potencial cambia de forma muy distinta, con campos diferentes en módulo y dirección.

El ejemplo más claro es el de una masa puntual $M$: todos los puntos de una esfera de radio $r$ centrada en ella tienen el mismo potencial, $V = -GM/r$, y el campo en ellos tiene el mismo módulo, $GM/r^2$, pero distinta dirección, porque en cada punto apunta radialmente hacia la masa. Por ejemplo, en dos puntos diametralmente opuestos los campos son opuestos: $\vec{g}_B = -\vec{g}_A$. Que dos puntos estén sobre la misma superficie equipotencial no garantiza que el campo (un vector) sea el mismo en ellos; lo único que se puede afirmar es que en cada punto el campo es perpendicular a la equipotencial.

En general, ni siquiera el módulo tiene por qué coincidir: con varias masas, dos puntos con igual potencial pueden estar en zonas donde las equipotenciales están más juntas o más separadas, es decir, con campos de distinto módulo.

a) ii) El trabajo del campo gravitatorio entre dos puntos depende solo de sus potenciales:$$W_{A\to B} = m\,(V_A - V_B)$$Como por hipótesis $V_A = V_B$:$$W_{A\to B} = 0$$El trabajo es nulo, y además lo es sea cual sea la trayectoria seguida, porque el campo gravitatorio es conservativo.

b) i) Distancias desde el origen $O(0,0)$:$$r_{AO} = 2\ \text{m (sobre el eje } X) \qquad r_{BO} = 3\ \text{m (sobre el eje } Y)$$Campo. Cada uno apunta desde $O$ hacia su masa:$$g_A = \frac{G\cdot 2}{2^2} = \frac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 2}{4} = 3{,}34\cdot 10^{-11}\ \text{N}\,\text{kg}^{-1}\quad(\text{según } +\vec{i})$$$$g_B = \frac{G\cdot 4}{3^2} = \frac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 4}{9} = 2{,}96\cdot 10^{-11}\ \text{N}\,\text{kg}^{-1}\quad(\text{según } +\vec{j})$$Al ser perpendiculares:$$\vec{g}_O = 3{,}34\cdot 10^{-11}\,\vec{i} + 2{,}96\cdot 10^{-11}\,\vec{j}\ \ \text{N}\,\text{kg}^{-1}$$$$|\vec{g}_O| = \sqrt{(3{,}34)^2 + (2{,}96)^2}\cdot 10^{-11} = 4{,}46\cdot 10^{-11}\ \text{N}\,\text{kg}^{-1}$$Potencial (escalar):$$V_O = -G\left(\frac{2}{2} + \frac{4}{3}\right) = -6{,}67\cdot 10^{-11}\,(1 + 1{,}33)$$$$V_O = -1{,}56\cdot 10^{-10}\ \text{J}\,\text{kg}^{-1}$$b) ii) Distancias desde $C(2,3)$, que es el vértice que cierra el rectángulo:$$r_{AC} = 3\ \text{m (de } A(2,0) \text{ a } C(2,3)) \qquad r_{BC} = 2\ \text{m (de } B(0,3) \text{ a } C(2,3))$$$$V_C = -G\left(\frac{2}{3} + \frac{4}{2}\right) = -6{,}67\cdot 10^{-11}\,(0{,}667 + 2) = -1{,}78\cdot 10^{-10}\ \text{J}\,\text{kg}^{-1}$$Trabajo de la fuerza gravitatoria al llevar $m = 1\,\text{kg}$ del origen a $C$:$$W_{O\to C} = m\,(V_O - V_C) = 1\cdot\bigl(-1{,}56\cdot 10^{-10} + 1{,}78\cdot 10^{-10}\bigr)$$$$W_{O\to C} = 2{,}22\cdot 10^{-11}\ \text{J}$$Es positivo: el punto $C$ tiene un potencial menor (más negativo) que el origen, así que la masa se desplaza espontáneamente hacia allí, impulsada por la propia atracción gravitatoria.