Campo y potencial gravitatorio

a) El campo creado por una masa puntual apunta hacia ella y vale $g = Gm/r^2$. En el origen:

• La masa $m$, situada en $A(d,0)$, crea un campo dirigido hacia $+X$ (hacia $A$), de módulo $\dfrac{G m}{d^2}$.
• La masa $2m$, situada en $B(-d,0)$, crea un campo dirigido hacia $-X$ (hacia $B$), de módulo $\dfrac{G\,2m}{d^2}$.

Ambos son antiparalelos, luego se restan:$$\vec{g}_O = \frac{G m}{d^2}\,\vec{i} - \frac{2 G m}{d^2}\,\vec{i}$$$$\boxed{\vec{g}_O = -\frac{G\,m}{d^2}\,\vec{i}}$$En la representación gráfica, el vector resultante sale del origen apuntando hacia $-X$, es decir, hacia la masa mayor $2m$, como cabía esperar: a igual distancia gana la masa más grande. Su módulo es el que crearía una sola masa $m$ a la distancia $d$.

b) i) Situamos la base sobre el eje $OX$, con los vértices en $(0,0)$ y $(6,0)$. El tercer vértice está en $(3,\ 3\sqrt{3}) = (3;\ 5{,}20)\,\text{m}$.

Al ser el triángulo equilátero, la distancia de cada masa al tercer vértice es el lado:$$r = 6\ \text{m}$$Módulo del campo creado por cada masa:$$g_1 = g_2 = \frac{G\,m}{r^2} = \frac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 3}{36} = 5{,}56\cdot 10^{-12}\ \text{N}\,\text{kg}^{-1}$$En el esquema, los dos vectores salen del vértice superior apuntando hacia abajo, hacia cada masa de la base, formando $30^\circ$ con la vertical (y $60^\circ$ con la horizontal). Por simetría, las componentes horizontales se cancelan y las verticales se suman:$$\vec{g} = 2\,g_1\cos 30^\circ\,(-\vec{j}) = -2\cdot 5{,}56\cdot 10^{-12}\cdot 0{,}866\ \vec{j}$$$$\vec{g} = -9{,}63\cdot 10^{-12}\ \vec{j}\ \ \text{N}\,\text{kg}^{-1}$$Apunta verticalmente hacia abajo, hacia el punto medio de la base.

b) ii) El potencial es escalar y las dos masas están a la misma distancia:$$V = -\frac{G m_1}{r} - \frac{G m_2}{r} = -2\,\frac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 3}{6}$$$$V = -6{,}67\cdot 10^{-11}\ \text{J}\,\text{kg}^{-1}$$b) iii) Con la referencia $V_\infty = 0$, el trabajo que realiza el campo al traer una masa $m' = 1\,\text{kg}$ desde el infinito hasta ese punto es$$W_{\infty\to C} = m'\,(V_\infty - V_C) = 1\cdot\bigl(0 - (-6{,}67\cdot 10^{-11})\bigr)$$$$W_{\infty\to C} = +6{,}67\cdot 10^{-11}\ \text{J}$$Justificación del signo. Es positivo, y necesariamente tiene que serlo: la gravedad es siempre atractiva, así que al traer una masa desde el infinito el campo tira de ella a favor del movimiento y realiza trabajo positivo. Su energía potencial disminuye (pasa de $0$ a un valor negativo) y el proceso es espontáneo: no hace falta ningún agente externo, más bien habría que frenarla.