Campo y potencial gravitatorio

a) La velocidad de escape desde la superficie de un planeta es$$v_e = \sqrt{\frac{2\,G\,M}{R}}$$Comparando A con B, con $M_A = 2\,M_B$ y $R_A = R_B/4$:$$\frac{v_{e,A}}{v_{e,B}} = \sqrt{\frac{M_A}{M_B}\cdot\frac{R_B}{R_A}} = \sqrt{2\cdot 4} = \sqrt{8}$$$$\frac{v_{e,A}}{v_{e,B}} = 2\sqrt{2} = 2{,}83$$La velocidad de escape desde el planeta A es unas $2{,}83$ veces mayor que desde B.

Los dos efectos se acumulan en el mismo sentido: A tiene más masa (atrae más) y además es más pequeño (su superficie está más cerca del centro, más hundida en el pozo de potencial). Cada factor contribuye por separado —$\sqrt{2}$ por la masa y $\sqrt{4} = 2$ por el radio— y su producto da $2\sqrt{2}$.

b) i) La gravedad en la superficie de un astro es$$g = \frac{G\,M}{R^2}$$Como no nos dan $G$ ni $M_T$, planteamos el cociente entre la Luna y la Tierra:$$\frac{g_L}{g_T} = \frac{M_L}{M_T}\cdot\left(\frac{R_T}{R_L}\right)^2 = 0{,}012\cdot\frac{1}{(0{,}27)^2} = \frac{0{,}012}{0{,}0729} = 0{,}1646$$$$g_L = 0{,}1646\cdot 9{,}8$$$$g_L = 1{,}61\ \text{m}\,\text{s}^{-2}$$Aproximadamente la sexta parte de la gravedad terrestre, coincidiendo con el valor real conocido ($1{,}62\,\text{m}\,\text{s}^{-2}$).

b) ii) Usamos la relación entre velocidad de escape y gravedad superficial:$$v_e = \sqrt{\frac{2\,G\,M}{R}} = \sqrt{2\,\frac{G\,M}{R^2}\,R} = \sqrt{2\,g\,R}$$Aplicada ya a la Luna, con $R_L = 0{,}27\,R_T = 0{,}27\cdot 6{,}37\cdot 10^{6} = 1{,}72\cdot 10^{6}\,\text{m}$:$$v_{e,L} = \sqrt{2\cdot 1{,}61\cdot 1{,}72\cdot 10^{6}} = \sqrt{5{,}55\cdot 10^{6}}$$$$v_{e,L} = 2{,}36\cdot 10^{3}\ \text{m}\,\text{s}^{-1}$$Unos $2{,}4\,\text{km}\,\text{s}^{-1}$, frente a los $11{,}2\,\text{km}\,\text{s}^{-1}$ de la Tierra: casi cinco veces menor. Ésta es la razón física de que la Luna no tenga atmósfera: las moléculas de gas alcanzan con facilidad esa velocidad por agitación térmica y escapan al espacio.