Campo y potencial gravitatorio

a) i) Falsa. La energía potencial gravitatoria del sistema formado por las dos partículas es$$E_p = -\frac{G\,m^2}{r}$$una cantidad siempre negativa. Al aumentar $r$, el valor absoluto $Gm^2/r$ se hace más pequeño, así que $E_p$ se hace menos negativa, es decir, aumenta y tiende a cero:$$r \to \infty \;\Longrightarrow\; E_p \to 0^-$$La afirmación dice justo lo contrario. Por ejemplo, pasar de $E_p = -20\,\text{J}$ a $E_p = -10\,\text{J}$ es un aumento, aunque el valor absoluto se reduzca.

Físicamente también es claro: separar dos masas que se atraen exige aportar trabajo desde el exterior, y esa energía queda almacenada en el sistema.

a) ii) Falsa. El potencial es un escalar y se obtiene sumando las contribuciones de ambas masas, ambas negativas. En el punto medio, cada una está a distancia $d/2$:$$V = -\frac{G\,m}{d/2} - \frac{G\,m}{d/2} = -\frac{4\,G\,m}{d} \neq 0$$El potencial gravitatorio nunca se anula a distancia finita, porque es una suma de términos todos negativos. Solo tiende a cero en el infinito.

Lo que sí se anula en el punto medio es el campo $\vec{g}$, que es un vector y cuyas dos contribuciones son opuestas e iguales en módulo. Conviene no confundir ambas magnitudes: en ese punto el campo es nulo, pero el potencial vale $-4Gm/d$. (Como $\vec g = -\nabla V$, que el campo se anule solo significa que el potencial es estacionario allí, no que valga cero.)

b) i) Calculamos por separado la contribución de cada masa en el punto $P(4,4)$.

Masa en $(0,0)$. El vector que va de $P$ hacia ella es $(-4,-4)$, de módulo$$r_1 = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 5{,}657\ \text{m} \qquad r_1^2 = 32\ \text{m}^2$$$$|\vec{g}_1| = \frac{G\,m}{r_1^2} = \frac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 10}{32} = 2{,}084\cdot 10^{-11}\ \text{m}\,\text{s}^{-2}$$Forma $45^\circ$ con los ejes, apuntando hacia abajo y a la izquierda:$$\vec{g}_1 = 2{,}084\cdot 10^{-11}\,(-0{,}707;\ -0{,}707) = (-1{,}474\cdot 10^{-11};\ -1{,}474\cdot 10^{-11})$$Masa en $(4,0)$. El vector de $P$ hacia ella es $(0,-4)$, de módulo $r_2 = 4\,\text{m}$:$$|\vec{g}_2| = \frac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 10}{16} = 4{,}169\cdot 10^{-11}\ \text{m}\,\text{s}^{-2}$$Este campo es puramente vertical, hacia abajo:$$\vec{g}_2 = (0;\ -4{,}169\cdot 10^{-11})$$Campo total:$$\vec{g} = (-1{,}474\cdot 10^{-11}\,\vec{i} - 5{,}643\cdot 10^{-11}\,\vec{j})\ \ \text{m}\,\text{s}^{-2}$$$$|\vec{g}| = \sqrt{(1{,}474\cdot 10^{-11})^2 + (5{,}643\cdot 10^{-11})^2} = 5{,}83\cdot 10^{-11}\ \text{m}\,\text{s}^{-2}$$Esquema: desde $P(4,4)$, un vector en diagonal hacia el origen y otro, mayor, verticalmente hacia abajo (hacia la masa que tiene justo debajo). La resultante apunta hacia abajo y ligeramente a la izquierda, unos $75^\circ$ por debajo de la horizontal.

b) ii) La fuerza sobre la masa de $5\,\text{kg}$ es el campo multiplicado por ella:$$\vec{F} = m\,\vec{g} = 5\cdot(-1{,}474\cdot 10^{-11};\ -5{,}643\cdot 10^{-11})$$$$\vec{F} = (-7{,}37\cdot 10^{-11}\,\vec{i} - 2{,}82\cdot 10^{-10}\,\vec{j})\ \ \text{N}$$$$|\vec{F}| = 5\cdot 5{,}83\cdot 10^{-11} = 2{,}92\cdot 10^{-10}\ \text{N}$$con la misma dirección y sentido que el campo.