FísicaMedioProblema · 2,5 pts

Campo y potencial gravitatorio

También trata: Satélites, órbitas y leyes de Kepler

Andalucía · 2018 · Junio · Opción A

Enunciado

a) Si la masa y el radio de la Tierra se duplican, razone si son correctas: i) el periodo orbital de la Luna se duplica; ii) su velocidad orbital permanece constante.

b) La masa de Marte es aproximadamente la décima parte de la de la Tierra y su radio la mitad. Calcule la masa y el peso en la superficie de Marte de una persona que en la Tierra pesa

700\,\text{N}

.

Dato:

g_T = 9{,}8\,\text{m s}^{-2}

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Resultado

\boxed{\;m = 71{,}4\ \text{kg (invariante)}\quad;\quad P_M = 280\ \text{N}\;}

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Estrategia

La órbita de la Luna depende de la masa de la Tierra, no de su radio (la distancia Tierra-Luna no cambia). Como

v = \sqrt{GM/r}

T = 2\pi r/v

, al duplicar

M

v

se multiplica por

\sqrt2

T

se divide por

\sqrt2

. En b), la masa es invariante; la gravedad superficial

g = GM/R^2

se recalcula con los datos de Marte:

g_M = \dfrac{M_T/10}{(R_T/2)^2}\,\dfrac{G}{1} = 0{,}4\,g_T

Desarrollo

a) La Luna describe (aproximadamente) una órbita circular de radio

r

(distancia Tierra-Luna, que no cambia). La fuerza gravitatoria actúa como fuerza centrípeta:

\frac{GMm}{r^2} = m\frac{v^2}{r}\ \Rightarrow\ v = \sqrt{\frac{GM}{r}}\qquad;\qquad T = \frac{2\pi r}{v} = 2\pi\sqrt{\frac{r^3}{GM}}

Ninguna de las dos depende del radio

R_T

de la Tierra (su masa actúa como si estuviera concentrada en el centro), así que duplicar

R_T

no influye; solo cuenta

M\to2M

i) Falsa. $T' = 2\pi\sqrt{\dfrac{r^3}{G\,2M}} = \dfrac{T}{\sqrt2}\approx0{,}71\,T$ : el periodo no se duplica, disminuye.
ii) Falsa. $v' = \sqrt{\dfrac{G\,2M}{r}} = \sqrt2\,v\approx1{,}41\,v$ : la velocidad orbital aumenta.

b) Masa (invariante):

m = \dfrac{700}{9{,}8} = 71{,}4\,\text{kg}

. Gravedad en Marte:

g_M = \frac{G(M_T/10)}{(R_T/2)^2} = \frac{4}{10}\,\frac{GM_T}{R_T^2} = 0{,}4\,g_T = 3{,}92\ \text{m s}^{-2}

P_M = m\,g_M = 71{,}4\cdot3{,}92 = 280\ \text{N}

Consejo

El radio de la Tierra no afecta a la órbita de la Luna: solo importa la masa. Y no confundas masa (invariante) con peso (depende de $g$ ): en Marte pesas $0{,}4$ veces, pero tu masa es la misma.