Satélites, órbitas y leyes de Kepler

a) Velocidad orbital. La fuerza gravitatoria hace de centrípeta:$$\frac{G M_T m}{r^2} = \frac{m\,v_{\text{orb}}^2}{r} \quad\Longrightarrow\quad v_{\text{orb}} = \sqrt{\frac{G M_T}{r}}$$Velocidad de escape. Escapar significa llegar al infinito con velocidad nula, es decir, energía mecánica total nula:$$\tfrac{1}{2}m v_{\text{esc}}^2 - \frac{G M_T m}{r} = 0 \quad\Longrightarrow\quad v_{\text{esc}} = \sqrt{\frac{2\,G M_T}{r}}$$Dividiendo ambas expresiones:$$\frac{v_{\text{esc}}}{v_{\text{orb}}} = \sqrt{\frac{2GM_T/r}{GM_T/r}} = \sqrt{2}$$$$\boxed{v_{\text{esc}} = \sqrt{2}\,v_{\text{orb}} \approx 1{,}41\,v_{\text{orb}}}$$La relación es universal: no depende del planeta ni de la distancia, solo de que ambas se evalúen en el mismo punto.

b) i) De la velocidad orbital, con $v = 7{,}6\cdot 10^{3}\,\text{m}\,\text{s}^{-1}$ y $G M_T = 3{,}99\cdot 10^{14}$:$$v = \sqrt{\frac{G M_T}{r}} \quad\Longrightarrow\quad r = \frac{G M_T}{v^2} = \frac{3{,}99\cdot 10^{14}}{(7{,}6\cdot 10^{3})^2} = \frac{3{,}99\cdot 10^{14}}{5{,}78\cdot 10^{7}}$$$$r = 6{,}91\cdot 10^{6}\ \text{m}$$(es decir, unos $536\,\text{km}$ de altura sobre la superficie: una órbita baja, típica de un satélite de observación radar como el Paz).

b) ii) Periodo orbital:$$T = \frac{2\pi r}{v} = \frac{2\pi\cdot 6{,}91\cdot 10^{6}}{7{,}6\cdot 10^{3}} = 5{,}71\cdot 10^{3}\ \text{s}$$(unos $95$ minutos). Número de vueltas en un día:$$n = \frac{86\,400}{5{,}71\cdot 10^{3}} = 15{,}1$$Da aproximadamente $15$ vueltas al día.

b) iii) Energía potencial en la órbita y en la superficie:$$E_p(r) = -\frac{G M_T m}{r} = -\frac{3{,}99\cdot 10^{14}\cdot 1400}{6{,}91\cdot 10^{6}} = -8{,}09\cdot 10^{10}\ \text{J}$$$$E_p(R_T) = -\frac{G M_T m}{R_T} = -\frac{3{,}99\cdot 10^{14}\cdot 1400}{6{,}37\cdot 10^{6}} = -8{,}77\cdot 10^{10}\ \text{J}$$Diferencia:$$\Delta E_p = E_p(r) - E_p(R_T) = -8{,}09\cdot 10^{10} + 8{,}77\cdot 10^{10}$$$$\Delta E_p = 6{,}80\cdot 10^{9}\ \text{J}$$Es positiva: en la órbita la energía potencial es mayor (menos negativa) que en la superficie, como corresponde a estar más lejos. Ésa es la energía que hubo que aportar, solo en concepto de potencial, para subirlo.