Campo y potencial gravitatorio

a) Líneas de campo. Cerca de cada masa las líneas son radiales y entran en ella (la gravedad es atractiva). Lejos de las dos masas el conjunto se comporta como una sola masa $2m$ y las líneas llegan desde el infinito casi radialmente hacia el centro del sistema. Entre las masas, las líneas se curvan hacia una u otra; ninguna línea va de una masa a la otra, y en el punto medio del segmento hay un punto donde no llega ninguna línea (punto neutro). El dibujo es simétrico respecto de la recta que une las masas y de la mediatriz del segmento.

Campo. Cada masa crea un campo $g = Gm/r^2$ dirigido hacia ella. Solo puede anularse en un punto donde los dos vectores tengan la misma dirección, sentidos opuestos e igual módulo: eso exige estar sobre el segmento que une las masas (fuera de él los dos campos apuntan en el mismo sentido o no son colineales) y a igual distancia de ambas, porque las masas son iguales. Por tanto sí: el campo se anula en el punto medio del segmento, y solo ahí.

Potencial. El potencial es un escalar y cada masa aporta un término negativo:$$V = -\frac{Gm}{r_1} - \frac{Gm}{r_2} < 0$$Una suma de dos términos negativos no puede ser cero, así que el potencial no se anula en ningún punto a distancia finita (solo tiende a cero en el infinito). En el punto medio, donde $\vec g = 0$, vale $V = -2Gm/(d/2) = -4Gm/d \ne 0$: que el campo sea nulo no implica que lo sea el potencial.

b.i) Distancia de $P$ a cada masa: $r = \sqrt{3^2+3^2} = \sqrt{18} = 4{,}24\,\text{m}$. Campo de cada una:$$g_1 = \frac{Gm}{r^2} = \frac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot50}{18} = 1{,}85\cdot10^{-10}\ \text{N kg}^{-1}$$Por simetría, las componentes horizontales se anulan; las verticales se suman:$$g = 2\,g_1\cos\theta = 2\cdot1{,}85\cdot10^{-10}\cdot\frac{3}{4{,}24} = 2{,}62\cdot10^{-10}\ \text{N kg}^{-1}\ (\text{hacia }-y)$$En forma vectorial, $\vec g = -2{,}62\cdot10^{-10}\,\vec j\ \text{N kg}^{-1}$: apunta desde $P$ hacia el punto medio $(3,0)$ del segmento $AB$.

b.ii) La fuerza sobre la masa de $2\,\text{kg}$ es$$\vec F = m\,\vec g = 2\cdot\left(-2{,}62\cdot10^{-10}\,\vec j\right) = -5{,}24\cdot10^{-10}\,\vec j\ \ \text{N}$$de módulo $F = 5{,}24\cdot10^{-10}\,\text{N}$, con la misma dirección y sentido que el campo.