Mecánica: dinámica, energía y trabajo

a) i) Verdadera. Es precisamente la propiedad que define a una fuerza conservativa: su trabajo depende solo de las posiciones inicial y final, no del camino. En una trayectoria cerrada ambos puntos coinciden, así que$$W = -\Delta E_p = E_p(\text{inicial}) - E_p(\text{final}) = 0$$Formalmente, la circulación de una fuerza conservativa a lo largo de cualquier curva cerrada es nula:$$\oint \vec{F}\cdot d\vec{r} = 0$$Es lo que no ocurre con el rozamiento: al recorrer un circuito cerrado, su trabajo es negativo y proporcional a la distancia total recorrida.

a) ii) Falsa. Si solo actuasen fuerzas conservativas, sería cierto: la energía mecánica se conservaría y toda la energía potencial perdida reaparecería como cinética. Pero el enunciado dice explícitamente que hay rozamiento, que es una fuerza no conservativa y realiza trabajo negativo:$$\Delta E_c = |\Delta E_p| - |W_{\text{roz}}| < |\Delta E_p|$$El aumento de energía cinética es menor que la disminución de energía potencial: la diferencia se ha disipado en forma de calor. La energía total sigue conservándose, pero la mecánica no.

b) i) Sobre el objeto actúan cuatro fuerzas:

• Peso: $P = m\,g = 2\cdot 9{,}8 = 19{,}6\ \text{N}$, vertical y hacia abajo. Sus componentes respecto al plano son $P_\parallel = mg\,\text{sen}\,30^\circ = 9{,}8\,\text{N}$ (hacia abajo del plano) y $P_\perp = mg\cos 30^\circ = 16{,}97\,\text{N}$.
• Normal: perpendicular al plano, equilibra la componente perpendicular del peso:

$$N = m\,g\cos 30^\circ = 2\cdot 9{,}8\cdot 0{,}866 = 16{,}97\ \text{N}$$

• Fuerza aplicada: $F = 30\ \text{N}$, paralela al plano y hacia arriba (es la que hace subir el objeto).
• Fuerza de rozamiento: paralela al plano y hacia abajo, opuesta al movimiento de ascenso:

$$F_r = \mu\,N = 0{,}1\cdot 16{,}97 = 1{,}70\ \text{N}$$b) ii) La altura ascendida es $h = 1{,}5\,\text{m}$, luego la distancia recorrida sobre el plano es$$d = \frac{h}{\text{sen}\,30^\circ} = \frac{1{,}5}{0{,}5} = 3\ \text{m}$$Variación de energía potencial:$$\Delta E_p = m\,g\,h = 2\cdot 9{,}8\cdot 1{,}5$$$$\Delta E_p = +29{,}4\ \text{J}$$(aumenta, porque el objeto sube).

Variación de energía cinética. Por el teorema de las fuerzas vivas, es igual al trabajo total:$$W_F = F\,d = 30\cdot 3 = +90\ \text{J}$$$$W_P = -m\,g\,h = -29{,}4\ \text{J}$$$$W_N = 0 \quad(\text{perpendicular al desplazamiento})$$$$W_{F_r} = -F_r\,d = -1{,}70\cdot 3 = -5{,}09\ \text{J}$$$$\Delta E_c = W_{\text{total}} = 90 - 29{,}4 + 0 - 5{,}09$$$$\Delta E_c = +55{,}5\ \text{J}$$Variación de energía mecánica:$$\Delta E_m = \Delta E_c + \Delta E_p = 55{,}5 + 29{,}4$$$$\Delta E_m = +84{,}9\ \text{J}$$Comprobación. La energía mecánica varía por el trabajo de las fuerzas no conservativas (la aplicada y el rozamiento):$$\Delta E_m = W_F + W_{F_r} = 90 - 5{,}09 = 84{,}9\ \text{J}\ \checkmark$$Los dos caminos coinciden, lo que confirma el resultado. Y el balance se lee con claridad: de los $90\,\text{J}$ que aporta la fuerza aplicada, $29{,}4$ se almacenan como energía potencial, $55{,}5$ se convierten en energía cinética y $5{,}09$ se disipan por rozamiento.