Campo y potencial gravitatorio

a) Campo. El módulo del campo creado por cada masa es $g = Gm/r^2$ y su sentido es siempre hacia la masa que lo crea. Fuera de la recta que une las masas, o sobre ella pero fuera del segmento, los dos vectores no son opuestos (fuera del segmento apuntan en el mismo sentido) y no pueden anularse. Entre las dos masas, en cambio, los campos tienen sentidos opuestos, así que puede haber un punto donde se anulen. Si $x$ es la distancia a la masa $m$, medida sobre la recta que las une:$$\frac{G m}{x^2} = \frac{G\,2m}{(d-x)^2} \quad\Longrightarrow\quad (d-x)^2 = 2x^2 \quad\Longrightarrow\quad d - x = \sqrt{2}\,x$$$$x = \frac{d}{1+\sqrt{2}} \approx 0{,}41\,d$$Sí existe ese punto, y está entre las dos masas, más cerca de la menor.

Potencial. El potencial de cada masa es$$V = -\frac{G m}{r} < 0$$La suma de dos cantidades negativas es negativa: el potencial total nunca se anula en ningún punto a distancia finita. Solo tiende a cero cuando $r \to \infty$.

b) Las dos masas valen $m = 10\,\text{kg}$ y están en $(0,0)$ y $(0,4)$. El punto es $P = (2,2)$, que está en la mediatriz.

Distancias:$$r_1 = r_2 = \sqrt{2^2 + 2^2} = 2\sqrt{2} = 2{,}83\,\text{m} \qquad r^2 = 8\,\text{m}^2$$Módulo de cada campo:$$g_1 = g_2 = \frac{G m}{r^2} = \frac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 10}{8} = 8{,}34\cdot 10^{-11}\,\text{N}\,\text{kg}^{-1}$$Cada vector apunta desde $P$ hacia su masa:$$\hat{u}_1 = \frac{(0,0)-(2,2)}{2\sqrt{2}} = \left(-\tfrac{\sqrt{2}}{2}, -\tfrac{\sqrt{2}}{2}\right) \qquad \hat{u}_2 = \frac{(0,4)-(2,2)}{2\sqrt{2}} = \left(-\tfrac{\sqrt{2}}{2}, +\tfrac{\sqrt{2}}{2}\right)$$En el esquema, los dos vectores salen de $P$ formando $45^\circ$ por encima y por debajo de la horizontal, apuntando hacia el eje $Y$. Al sumarlos, las componentes $y$ se cancelan:$$\vec{g} = 2\,g_1\left(-\tfrac{\sqrt{2}}{2}\right)\vec{i} = -2\cdot 8{,}34\cdot 10^{-11}\cdot 0{,}707\ \vec{i}$$$$\vec{g} = -1{,}18\cdot 10^{-10}\ \vec{i}\ \ \text{N}\,\text{kg}^{-1}$$