Mecánica: dinámica, energía y trabajo

a) No, no se cumple siempre. Solo es cierto cuando todas las fuerzas que realizan trabajo son conservativas.

En ese caso, por el teorema de las fuerzas vivas $W = \Delta E_c$ y, por ser conservativas, $W = -\Delta E_p$, de donde$$\Delta E_c = -\Delta E_p$$es decir, el aumento de energía cinética iguala exactamente a la disminución de energía potencial: la energía mecánica se conserva.

Pero si actúa alguna fuerza no conservativa —el rozamiento, por ejemplo—, parte de la energía se disipa y la igualdad se rompe:$$\Delta E_c = -\Delta E_p + W_{\text{no conservativa}} \quad\text{con}\quad W_{\text{roz}} < 0$$$$\Delta E_c < -\Delta E_p$$El aumento de energía cinética es menor que la disminución de energía potencial: la diferencia se ha convertido en calor. El apartado b) de este mismo ejercicio es un contraejemplo directo.

b) i) Durante la subida actúan tres fuerzas:

• el peso $P = mg = 0{,}5\cdot 9{,}8 = 4{,}9\,\text{N}$, vertical y hacia abajo, con componentes $mg\,\text{sen}\,30^\circ = 2{,}45\,\text{N}$ (paralela, frenando) y $mg\cos 30^\circ = 4{,}24\,\text{N}$ (perpendicular);
• la normal, perpendicular al plano: $N = mg\cos 30^\circ = 4{,}24\,\text{N}$;
• el rozamiento, paralelo al plano y hacia abajo (opuesto al ascenso):

$$F_r = \mu\,N = 0{,}2\cdot 4{,}24 = 0{,}849\ \text{N}$$Durante la bajada las mismas tres fuerzas, con una diferencia esencial: el rozamiento apunta ahora hacia arriba, porque siempre se opone al movimiento. El peso y la normal no cambian.

b) ii) En la subida, la energía cinética inicial se reparte entre la energía potencial ganada y lo disipado por el rozamiento. Siendo $d = h/\text{sen}\,30^\circ = 2h$ la distancia recorrida sobre el plano:$$\tfrac{1}{2}m\,v_0^2 = m\,g\,h + F_r\,d$$$$\tfrac{1}{2}\cdot 0{,}5\cdot 5^2 = 0{,}5\cdot 9{,}8\cdot h + 0{,}849\cdot 2h$$$$6{,}25 = 4{,}9\,h + 1{,}697\,h = 6{,}597\,h$$$$h = 0{,}947\ \text{m}$$(La distancia recorrida sobre el plano es $d = 2h = 1{,}89\,\text{m}$.)

b) iii) Primero, ¿vuelve a bajar? Sí: arriba la componente del peso a lo largo del plano, $mg\,\text{sen}\,30^\circ = 2{,}45\,\text{N}$, supera el rozamiento máximo, $\mu N = 0{,}849\,\text{N}$ (equivale a $\tan 30^\circ = 0{,}577 > \mu = 0{,}2$), así que el cuerpo no se queda parado en lo alto.

En la bajada partimos del reposo desde esa altura. Ahora la energía potencial se convierte en cinética, descontando de nuevo el rozamiento:$$\tfrac{1}{2}m\,v^2 = m\,g\,h - F_r\,d$$$$\tfrac{1}{2}m\,v^2 = 0{,}5\cdot 9{,}8\cdot 0{,}947 - 0{,}849\cdot 1{,}89 = 4{,}642 - 1{,}608 = 3{,}034\ \text{J}$$$$v = \sqrt{\frac{2\cdot 3{,}034}{0{,}5}} = \sqrt{12{,}14}$$$$v = 3{,}48\ \text{m}\,\text{s}^{-1}$$El cuerpo vuelve al punto de partida con menos velocidad de la que salió ($3{,}48$ frente a $5\,\text{m}\,\text{s}^{-1}$). Ésa es la firma inconfundible de una fuerza no conservativa: en un recorrido cerrado, el rozamiento ha disipado energía en los dos sentidos, y su trabajo total no es nulo. Sin rozamiento, el cuerpo habría regresado exactamente con $5\,\text{m}\,\text{s}^{-1}$.

Es, por tanto, el contraejemplo pedido en el apartado a).