Mecánica: dinámica, energía y trabajo

a) La energía mecánica de una partícula es la suma de su energía cinética y su energía potencial:$$E_m = E_c + E_p$$Es la energía asociada a su estado de movimiento y a su posición dentro de un campo de fuerzas conservativas.

i) Si actúa una fuerza conservativa, la energía mecánica se conserva. Por el teorema de las fuerzas vivas, $W = \Delta E_c$; y por ser la fuerza conservativa, $W = -\Delta E_p$. Igualando:$$\Delta E_c = -\Delta E_p \quad\Longrightarrow\quad \Delta E_c + \Delta E_p = 0 \quad\Longrightarrow\quad \Delta E_m = 0$$La energía se transforma de potencial en cinética o al revés, pero la suma permanece constante. Es lo que ocurre en una caída libre o en el movimiento de un péndulo ideal.

ii) Si actúa una fuerza no conservativa, la energía mecánica varía, y lo hace exactamente en la cantidad de trabajo que esa fuerza realiza:$$\Delta E_m = W_{\text{no conservativa}}$$En el caso del rozamiento, ese trabajo es siempre negativo (la fuerza se opone al movimiento), así que la energía mecánica disminuye: parte se disipa en forma de calor. La energía total del universo sigue conservándose, pero deja de estar disponible como energía mecánica.

b) i) Durante la bajada actúan tres fuerzas:

• El peso $P = m\,g = 5\cdot 9{,}8 = 49\,\text{N}$, vertical y hacia abajo. Su componente paralela al plano, $mg\,\text{sen}\,30^\circ = 24{,}5\,\text{N}$, es la que impulsa el descenso; la perpendicular vale $mg\cos 30^\circ = 42{,}44\,\text{N}$.
• La normal, perpendicular al plano y hacia fuera:

$$N = m\,g\cos 30^\circ = 5\cdot 9{,}8\cdot 0{,}866 = 42{,}44\ \text{N}$$

• El rozamiento, paralelo al plano y hacia arriba (opuesto al descenso):

$$F_r = \mu\,N = 0{,}2\cdot 42{,}44 = 8{,}49\ \text{N}$$b) ii) La distancia recorrida sobre el plano se obtiene de la altura:$$d = \frac{h}{\text{sen}\,30^\circ} = \frac{10}{0{,}5} = 20\ \text{m}$$Trabajo del rozamiento (negativo, porque se opone al desplazamiento):$$W_{F_r} = -F_r\,d = -8{,}49\cdot 20$$$$W_{F_r} = -169{,}7\ \text{J}$$b) iii) El bloque parte del reposo, así que toda la energía cinética final procede de la potencial inicial menos lo disipado:$$\tfrac{1}{2}m\,v^2 = m\,g\,h - |W_{F_r}|$$$$\tfrac{1}{2}m\,v^2 = 5\cdot 9{,}8\cdot 10 - 169{,}7 = 490 - 169{,}7 = 320{,}3\ \text{J}$$$$v = \sqrt{\frac{2\cdot 320{,}3}{5}} = \sqrt{128{,}1}$$$$v = 11{,}3\ \text{m}\,\text{s}^{-1}$$Sin rozamiento habría llegado a $v = \sqrt{2gh} = 14\,\text{m}\,\text{s}^{-1}$: el rozamiento se ha llevado un $35\,\%$ de la energía disponible.