Satélites, órbitas y leyes de Kepler

a) i) Igualando la fuerza gravitatoria a la centrípeta, con $v = 2\pi r/T$:$$\frac{G\,M\,m}{r^2} = m\,\frac{4\pi^2 r}{T^2} \quad\Longrightarrow\quad T = 2\pi\sqrt{\frac{r^3}{G\,M}}$$El periodo no depende de la masa del satélite y es inversamente proporcional a $\sqrt{M}$. Con el mismo radio en ambos casos:$$\frac{T_T}{T_M} = \sqrt{\frac{M_M}{M_T}} = \sqrt{\frac{1}{9}} = \frac{1}{3}$$$$T_M = 3\,T_T$$El satélite de Marte tarda el triple en dar una vuelta, porque Marte tira mucho menos de él.

a) ii) La energía cinética orbital es$$E_c = \frac{G\,M\,m}{2\,r}$$directamente proporcional a la masa del planeta. Con igual $m$ y $r$:$$\frac{E_{c,T}}{E_{c,M}} = \frac{M_T}{M_M} = 9$$El satélite terrestre tiene nueve veces más energía cinética.

b) i) Periodo en segundos:$$T = 102{,}85\ \text{min}\cdot 60 = 6171\ \text{s}$$Radio de la órbita por la tercera ley de Kepler:$$r = \sqrt[3]{\frac{G\,M_T\,T^2}{4\pi^2}} = \sqrt[3]{\frac{3{,}99\cdot 10^{14}\cdot (6171)^2}{4\pi^2}} = \sqrt[3]{3{,}85\cdot 10^{20}}$$$$r = 7{,}27\cdot 10^{6}\ \text{m}$$La altura sobre la superficie es$$h = r - R_T = 7{,}27\cdot 10^{6} - 6{,}37\cdot 10^{6} = 9{,}03\cdot 10^{5}\ \text{m} \approx 903\ \text{km}$$(una órbita baja típica de satélites de observación terrestre).

b) ii) Velocidad orbital:$$v = \sqrt{\frac{G\,M_T}{r}} = \sqrt{\frac{3{,}99\cdot 10^{14}}{7{,}27\cdot 10^{6}}} = 7{,}41\cdot 10^{3}\ \text{m}\,\text{s}^{-1}$$(equivalente: $v = 2\pi r/T = 7{,}41\cdot 10^{3}\,\text{m}\,\text{s}^{-1}$).

b) iii) La energía mecánica en la órbita es$$E_{\text{órbita}} = -\frac{G\,M_T\,m}{2\,r} = -\frac{3{,}99\cdot 10^{14}\cdot 2300}{2\cdot 7{,}27\cdot 10^{6}}$$$$E_{\text{órbita}} = -6{,}31\cdot 10^{10}\ \text{J}$$Escapar del campo gravitatorio significa llegar al infinito con velocidad nula, es decir, alcanzar $E = 0$. La energía que hay que suministrar es la diferencia:$$\Delta E = 0 - E_{\text{órbita}} = 6{,}31\cdot 10^{10}\ \text{J}$$