Mecánica: dinámica, energía y trabajo

a) i) Falso. Para una fuerza conservativa, el trabajo entre dos puntos es$$W_{\text{c}} = -\Delta E_p = E_p(\text{inicial}) - E_p(\text{final})$$En una trayectoria cerrada, el punto final es el mismo que el inicial, luego $E_p(\text{final}) = E_p(\text{inicial})$ y$$W_{\text{c}} = 0$$Ésa es justamente la definición de fuerza conservativa. No es mayor que cero: es igual a cero.

a) ii) Falso. El rozamiento que actúa en sentido opuesto al desplazamiento forma $180^\circ$ con él en todo momento:$$W_{F_r} = \int \vec{F}_r\cdot d\vec{r} = -\int F_r\,dr < 0$$Su trabajo es negativo siempre, y en una trayectoria cerrada no se anula (por eso el rozamiento no es conservativo): se acumula a lo largo de todo el recorrido y disipa energía en forma de calor.

b) i) En el plano inclinado (liso) actúan el peso $\vec{P}$, vertical hacia abajo, y la normal $\vec{N}$, perpendicular a la superficie del plano. No hay ninguna fuerza que empuje: el bloque sube por inercia y el peso lo frena.

En el plano horizontal actúan el peso $\vec{P}$, la normal $\vec{N}$ (ahora vertical, con $N = mg$) y el rozamiento $\vec{F}_r$, horizontal y opuesto al movimiento.

b) ii) En el plano inclinado no hay rozamiento, así que la energía mecánica se conserva. Tomando el origen de alturas en la base:$$\tfrac{1}{2}m v_0^2 = \tfrac{1}{2}m v_1^2 + m g h$$$$v_1 = \sqrt{v_0^2 - 2 g h} = \sqrt{7^2 - 2\cdot 9{,}8\cdot 2} = \sqrt{49 - 39{,}2} = \sqrt{9{,}8}$$$$v_1 = 3{,}13\ \text{m}\,\text{s}^{-1}$$(El ángulo de $20^\circ$ no interviene: la energía potencial depende solo del desnivel, no del camino.)

b) iii) Hacemos un balance global entre el instante inicial (abajo, con $7\,\text{m}\,\text{s}^{-1}$) y el final (arriba, sobre el plano horizontal y en reposo). El trabajo de las fuerzas no conservativas —aquí, solo el rozamiento— es la variación de energía mecánica:$$W_{F_r} = \Delta E_m = E_m(\text{final}) - E_m(\text{inicial})$$$$E_m(\text{final}) = 0 + m g h = 5\cdot 9{,}8\cdot 2 = 98\ \text{J}$$$$E_m(\text{inicial}) = \tfrac{1}{2}m v_0^2 + 0 = \tfrac{1}{2}\cdot 5\cdot 7^2 = 122{,}5\ \text{J}$$$$W_{F_r} = 98 - 122{,}5 = -24{,}5\ \text{J}$$Comprobación: el bloque llega al tramo horizontal con $v_1 = 3{,}13\,\text{m}\,\text{s}^{-1}$, es decir, con $E_c = \tfrac{1}{2}\cdot 5\cdot 9{,}8 = 24{,}5\ \text{J}$, y allí se detiene. Toda esa energía cinética la disipa el rozamiento. ✓

La simulación no tiene el tramo horizontal de arriba: el bloque se para al final del plano, a $2\,\text{m}$ de altura, e indica la velocidad con la que llega; los $24{,}5\,\text{J}$ que le quedan son los que disiparía el rozamiento de ese tramo.