Mecánica: dinámica, energía y trabajo

a) i) La condición de partida es que en el punto de lanzamiento, a altura $h$, se cumple $E_c = E_p$. La energía mecánica inicial es, por tanto, el doble de la potencial:$$E_m = E_c + E_p = 2\,E_p = 2\,m\,g\,h$$En el punto más alto, a altura $h_{\text{máx}}$, el cuerpo se detiene y toda la energía es potencial. Como no hay rozamiento, la energía mecánica se conserva:$$m\,g\,h_{\text{máx}} = 2\,m\,g\,h \quad\Longrightarrow\quad h_{\text{máx}} = 2\,h$$La altura máxima es el doble de la altura inicial.

a) ii) Al llegar al suelo toda la energía mecánica es cinética, porque allí $E_p = 0$:$$\tfrac{1}{2}m\,v_{\text{suelo}}^2 = 2\,m\,g\,h$$Y la velocidad inicial se obtiene de la propia condición $E_c = E_p$ en el punto de lanzamiento:$$\tfrac{1}{2}m\,v_0^2 = m\,g\,h \quad\Longrightarrow\quad v_0^2 = 2\,g\,h$$Dividiendo una expresión entre la otra:$$\frac{v_{\text{suelo}}^2}{v_0^2} = \frac{4\,g\,h}{2\,g\,h} = 2 \quad\Longrightarrow\quad v_{\text{suelo}} = \sqrt{2}\;v_0$$Llega al suelo con una velocidad $\sqrt{2} \approx 1{,}41$ veces la inicial.

b) i) En el tramo horizontal, la única fuerza que realiza trabajo es el rozamiento, con $N = m\,g$:$$W_{F_r} = -\mu\,m\,g\,d = -0{,}2\cdot 2\cdot 9{,}8\cdot 5 = -19{,}6\ \text{J}$$Aplicando el teorema de las fuerzas vivas entre el inicio y el pie del plano:$$\tfrac{1}{2}m\,v^2 - \tfrac{1}{2}m\,v_0^2 = W_{F_r}$$$$v^2 = v_0^2 - 2\,\mu\,g\,d = 36 - 2\cdot 0{,}2\cdot 9{,}8\cdot 5 = 36 - 19{,}6 = 16{,}4$$$$v = 4{,}05\ \text{m}\,\text{s}^{-1}$$b) ii) El plano inclinado no tiene rozamiento, así que ahí la energía mecánica se conserva. Toda la cinética del pie se convierte en potencial:$$\tfrac{1}{2}m\,v^2 = m\,g\,h \quad\Longrightarrow\quad h = \frac{v^2}{2\,g} = \frac{16{,}4}{19{,}6} = 0{,}837\ \text{m}$$La distancia recorrida sobre el plano se obtiene de la geometría, dividiendo la altura por el seno del ángulo:$$d' = \frac{h}{\text{sen}\,30^\circ} = \frac{0{,}837}{0{,}5}$$$$d' = 1{,}67\ \text{m}$$