Mecánica: dinámica, energía y trabajo

a) i) Para una órbita circular de radio $r = R + h$, la fuerza gravitatoria es la centrípeta:$$\frac{G\,M\,m}{(R+h)^2} = \frac{m\,v^2}{R+h}$$La masa del satélite se cancela en ambos miembros:$$\boxed{v = \sqrt{\frac{G\,M}{R+h}}}$$a) ii) Si la masa del planeta se duplica ($M' = 2M$), como $v \propto \sqrt{M}$:$$v' = \sqrt{\frac{G(2M)}{R+h}} = \sqrt{2}\,v \approx 1{,}41\,v$$La velocidad se multiplica por $\sqrt{2}$, no por dos.

Si se duplica la masa del satélite, la velocidad no cambia: $m$ se canceló en la deducción. Es el mismo motivo por el que todos los cuerpos caen con la misma aceleración.

b) i) Sobre el cuerpo actúan cuatro fuerzas: el peso $\vec{P}$ (vertical hacia abajo), la normal $\vec{N}$ (perpendicular al plano), la fuerza aplicada $\vec{F}$ de $20\,\text{N}$ (paralela al plano y hacia arriba) y el rozamiento $\vec{F}_r$ (paralelo al plano y también hacia arriba, porque el cuerpo desciende y el rozamiento se opone al movimiento).

b) ii) Longitud recorrida sobre el plano al bajar $15\,\text{m}$ de altura:$$L = \frac{h}{\text{sen}\,30^\circ} = \frac{15}{0{,}5} = 30\ \text{m}$$Trabajo del peso. Solo cuenta el desnivel, y el cuerpo baja, luego es positivo:$$W_P = m\,g\,h = 5\cdot 9{,}8\cdot 15 = 735\ \text{J}$$Trabajo de la normal. Es perpendicular al desplazamiento:$$W_N = 0$$Trabajo de la fuerza aplicada. Va hacia arriba del plano y el desplazamiento hacia abajo, luego forman $180^\circ$:$$W_F = -F\,L = -20\cdot 30 = -600\ \text{J}$$Trabajo del rozamiento. Al ser la velocidad constante, $\Delta E_c = 0$ y por el teorema de las fuerzas vivas el trabajo total es nulo:$$W_P + W_N + W_F + W_{F_r} = \Delta E_c = 0$$$$735 + 0 - 600 + W_{F_r} = 0$$$$W_{F_r} = -135\ \text{J}$$Negativo, como corresponde a una fuerza disipativa.

En la simulación el plano desemboca en un suelo muy rugoso (que el problema no tiene) para que el bloque se pare al llegar abajo: los trabajos del problema son los que marca justo al llegar a la base.