FísicaMedioProblema · 2,5 pts

Mecánica: dinámica, energía y trabajo

También trata: Campo y potencial gravitatorio

Andalucía · 2018 · Reserva 1 · Opción B

Enunciado

a) Indique las características de la interacción gravitatoria entre dos masas puntuales.

b) Un cuerpo de

20\,\text{kg}

parte del reposo en lo alto de una rampa de

30^\circ

, desciende

15\,\text{m}

sin rozamiento y luego recorre

20\,\text{m}

por una superficie horizontal rugosa hasta detenerse. Calcule el coeficiente de rozamiento con la superficie horizontal por consideraciones energéticas.

Dato:

g = 9{,}8\,\text{m s}^{-2}

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Resultado

\boxed{\;\mu = 0{,}375\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

La fuerza gravitatoria es atractiva, central, dirigida según la recta que une las masas, proporcional a

m_1m_2/r^2

y conservativa. En b), como la rampa no tiene rozamiento, toda la energía potencial (

mgh

, con

h = 15\,\text{sen}\,30^\circ

) se convierte en cinética; esa energía la disipa el rozamiento en el tramo horizontal:

mgh = \mu mg\,d

Desarrollo

a) La describe la ley de gravitación universal de Newton:

\vec F_{12} = -G\,\frac{m_1 m_2}{r^2}\,\vec u_r

donde

\vec u_r

es el vector unitario dirigido de

m_1

hacia

m_2

\vec F_{12}

la fuerza que

m_1

ejerce sobre

m_2

. Sus características son:

Siempre atractiva (signo $-$ ): no hay "masas negativas".
Central: actúa a lo largo de la recta que une las dos masas.
Su módulo es proporcional al producto de las masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia; $G = 6{,}67\cdot10^{-11}\,\text{N m}^2\text{kg}^{-2}$ es una constante universal, que no depende del medio.
Cumple el principio de acción y reacción: $\vec F_{21} = -\vec F_{12}$ (mismo módulo y dirección, sentidos opuestos, aplicadas en cuerpos distintos).
Es de alcance infinito pero muy débil (el valor de $G$ es muy pequeño): solo es apreciable cuando alguna de las masas es muy grande.
Es conservativa: su trabajo no depende del camino, y lleva asociada la energía potencial $E_p = -G\dfrac{m_1 m_2}{r}$ .

b) Altura descendida:

h = 15\,\text{sen}\,30^\circ = 7{,}5\,\text{m}

. En la rampa sin rozamiento solo trabaja el peso (la normal es perpendicular al desplazamiento), así que se conserva la energía mecánica. Energía cinética al pie:

E_c = mgh = 20\cdot9{,}8\cdot7{,}5 = 1470\ \text{J}

En el tramo horizontal la normal es

N = mg

y la fuerza de rozamiento,

F_r = \mu mg

, realiza un trabajo

W_r = -\mu mg\,d

que disipa toda la energía cinética hasta detener el cuerpo (teorema de la energía cinética:

W_r = 0 - E_c

\mu mg\,d = mgh\ \Rightarrow\ \mu = \frac{mgh}{mg\,d} = \frac{1470}{20\cdot9{,}8\cdot20} = \frac{1470}{3920} = 0{,}375

(equivale a

\mu = h/d = 7{,}5/20

, porque la masa y

g

se simplifican).

Consejo

Como la rampa no tiene rozamiento, no necesitas su longitud para la energía: solo la altura ( $mgh$ ). Y fíjate que $\mu = h/d$ solo porque la masa se simplifica; el rozamiento actúa a lo largo de los $20\,\text{m}$ horizontales.

Paso 1 de 3

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