Satélites, órbitas y leyes de Kepler

a) i) No cambia. La energía potencial gravitatoria es$$E_p = -\frac{G\,M\,m}{r}$$y depende únicamente de la distancia al centro del planeta. En una órbita circular el radio $r$ es constante en todo momento, luego $E_p$ también lo es.

(Sería distinto en una órbita elíptica: allí la distancia varía entre el punto más cercano al planeta (periapsis) y el más lejano (apoapsis), y con ella la energía potencial.)

a) ii) Tampoco cambia. De la condición de órbita circular, $v = \sqrt{GM/r}$, y al ser $r$ constante también lo es la velocidad:$$E_c = \tfrac{1}{2}m\,v^2 = \frac{G\,M\,m}{2\,r} = \text{constante}$$Es coherente con el hecho de que la única fuerza que actúa —la gravitatoria— es perpendicular a la velocidad en todo instante, así que no realiza trabajo y la energía cinética no puede variar.

Como consecuencia, la energía mecánica $E_m = E_c + E_p = -GMm/(2r)$ también permanece constante.

a) iii) No es posible. La velocidad orbital y el radio están rígidamente ligados:$$v = \sqrt{\frac{G\,M}{r}}$$A cada altura le corresponde una sola velocidad posible. Si se acelerase el satélite manteniendo el radio, la fuerza gravitatoria ya no bastaría como centrípeta y el satélite se alejaría, pasando a una órbita mayor; si se frenase, caería hacia una órbita menor.

Dicho de otro modo: no se puede elegir la velocidad y la altura de forma independiente. Modificar una obliga a modificar la otra, y ése es el fundamento de todas las maniobras orbitales.

b) i) El satélite está a una altura igual al radio terrestre, así que el radio de su órbita medido desde el centro es$$r = R_T + R_T = 2\,R_T = 2\cdot 6{,}37\cdot 10^{6} = 1{,}274\cdot 10^{7}\ \text{m}$$El peso en la órbita es la fuerza gravitatoria a esa distancia:$$P = \frac{G\,M_T\,m}{r^2} \quad\Longrightarrow\quad m = \frac{P\,r^2}{G\,M_T}$$Con $G\,M_T = 3{,}989\cdot 10^{14}$ y $r^2 = 1{,}623\cdot 10^{14}\ \text{m}^2$:$$m = \frac{1000\cdot 1{,}623\cdot 10^{14}}{3{,}989\cdot 10^{14}}$$$$m = 407\ \text{kg}$$(En la superficie terrestre este satélite pesaría unos $3990\,\text{N}$: cuatro veces más, porque al duplicar la distancia el campo se reduce a la cuarta parte.)

b) ii) Velocidad orbital:$$v = \sqrt{\frac{G\,M_T}{r}} = \sqrt{\frac{3{,}989\cdot 10^{14}}{1{,}274\cdot 10^{7}}} = \sqrt{3{,}131\cdot 10^{7}}$$$$v = 5{,}60\cdot 10^{3}\ \text{m}\,\text{s}^{-1}$$b) iii) La energía necesaria es la diferencia entre la energía mecánica en la órbita y la que el satélite tenía en la superficie (en reposo, si se desprecia la rotación terrestre):$$\Delta E = E_{\text{órbita}} - E_{\text{superficie}} = \left(-\frac{G\,M_T\,m}{2\,r}\right) - \left(-\frac{G\,M_T\,m}{R_T}\right)$$$$\Delta E = G\,M_T\,m\left(\frac{1}{R_T} - \frac{1}{2\,r}\right)$$Con $G\,M_T\,m = 3{,}989\cdot 10^{14}\cdot 407 = 1{,}623\cdot 10^{17}$, y siendo $r = 2R_T$, el segundo término vale $1/(4R_T)$:$$\Delta E = G\,M_T\,m\left(\frac{1}{R_T} - \frac{1}{4\,R_T}\right) = \frac{3}{4}\cdot\frac{G\,M_T\,m}{R_T}$$$$\Delta E = 0{,}75\cdot\frac{1{,}623\cdot 10^{17}}{6{,}37\cdot 10^{6}} = 0{,}75\cdot 2{,}548\cdot 10^{10}$$$$\Delta E = 1{,}91\cdot 10^{10}\ \text{J}$$El resultado es positivo, como debe ser: hay que suministrar esa energía para elevar el satélite y ponerlo en movimiento orbital.