Campo y potencial gravitatorio

a) La energía potencial gravitatoria del par de masas es$$E_p = -\frac{G\,M\,m}{r}$$siempre negativa (con la referencia $E_p = 0$ en el infinito).

i) Las masas se acercan. Al disminuir $r$, el cociente $GMm/r$ crece, y con el signo menos delante la energía potencial se hace más negativa: $E_p$ disminuye.

Es coherente con la física: al acercarse por acción de la atracción, el sistema pierde energía potencial y gana cinética.

ii) Aumenta la masa $m$. El producto $M\,m$ crece, luego $|E_p|$ aumenta y, de nuevo, $E_p$ se hace más negativa: disminuye.

(En ambos casos, "disminuye" en sentido algebraico. Si se habla del valor absoluto, aumenta; conviene decirlo con precisión para no dejar dudas.)

b) i) Distancias desde $C(0,0)$ a cada masa:$$r_{AC} = 2\ \text{m (sobre el eje } Y) \qquad r_{BC} = 2\ \text{m (sobre el eje } X)$$Módulo del campo creado por cada masa:$$g_A = g_B = \frac{G\,m}{r^2} = \frac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 5}{4} = 8{,}34\cdot 10^{-11}\ \text{N}\,\text{kg}^{-1}$$Cada campo apunta desde $C$ hacia su masa: el de $A$ según $+\vec{j}$ y el de $B$ según $+\vec{i}$. Son perpendiculares, así que$$\vec{g}_C = 8{,}34\cdot 10^{-11}\,\vec{i} + 8{,}34\cdot 10^{-11}\,\vec{j}\ \ \text{N}\,\text{kg}^{-1}$$$$|\vec{g}_C| = 8{,}34\cdot 10^{-11}\cdot\sqrt{2} = 1{,}18\cdot 10^{-10}\ \text{N}\,\text{kg}^{-1}$$dirigido a $45^\circ$, hacia el punto medio del segmento $AB$.

b) ii) El potencial es escalar y ambas masas están a $2\,\text{m}$:$$V_C = -G\left(\frac{5}{2} + \frac{5}{2}\right) = -6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 5$$$$V_C = -3{,}34\cdot 10^{-10}\ \text{J}\,\text{kg}^{-1}$$b) iii) Calculamos el potencial en $D(2,2)$. Distancias:

• De $A(0,2)$ a $D(2,2)$: el desplazamiento es $(2,0)$, luego $r_{AD} = 2\,\text{m}$.
• De $B(2,0)$ a $D(2,2)$: el desplazamiento es $(0,2)$, luego $r_{BD} = 2\,\text{m}$.

¡Las mismas distancias que desde $C$! Por tanto$$V_D = -G\left(\frac{5}{2} + \frac{5}{2}\right) = -3{,}34\cdot 10^{-10}\ \text{J}\,\text{kg}^{-1} = V_C$$El trabajo realizado por la fuerza gravitatoria es$$W_{C\to D} = m\,(V_C - V_D) = 3\cdot 0$$$$W_{C\to D} = 0\ \text{J}$$Justificación. Los puntos $C$ y $D$ son simétricos respecto al centro del segmento $AB$ y equidistan de ambas masas, de modo que están sobre la misma superficie equipotencial. Como el campo gravitatorio es conservativo, el trabajo entre dos puntos del mismo potencial es nulo sea cual sea la trayectoria: por ejemplo, en el camino recto de $C$ a $D$ la masa primero se acerca a las dos (el campo hace trabajo positivo, hasta el punto medio $(1,1)$) y luego se aleja de ambas (trabajo negativo), y los dos tramos se compensan exactamente por simetría.