a) Explique qué son las fuerzas conservativas y la energía potencial. Ponga un ejemplo de fuerza conservativa y otro de no conservativa. b) Dos masas m_1 = 2\,\text{kg} y m_2 = 3\,\text{kg} están en (0,2) y (0,-3)\,\text{m}. Calcule el trabajo necesario para trasladar una masa m_3 = 1\,\text{kg} desde (0,0) hasta (1,0)\,\text{m}. Dato: G = 6{,}67\cdot10^{-11}\,\text{N m}^2\text{kg}^{-2}.

FísicaMedioProblema · 2,5 pts

Campo y potencial gravitatorio

También trata: Mecánica: dinámica, energía y trabajo

Andalucía · 2018 · Reserva 3 · Opción A

Enunciado

a) Explique qué son las fuerzas conservativas y la energía potencial. Ponga un ejemplo de fuerza conservativa y otro de no conservativa.

b) Dos masas

m_1 = 2\,\text{kg}

m_2 = 3\,\text{kg}

están en

(0,2)

(0,-3)\,\text{m}

. Calcule el trabajo necesario para trasladar una masa

m_3 = 1\,\text{kg}

desde

(0,0)

hasta

(1,0)\,\text{m}

.

Dato:

G = 6{,}67\cdot10^{-11}\,\text{N m}^2\text{kg}^{-2}

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;W = +1{,}05\cdot10^{-11}\ \text{J}\;}

El signo positivo indica que la masa se aleja algo de las que la atraen: hay que aportar trabajo.

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Una fuerza es conservativa si su trabajo no depende del camino (admite energía potencial); ejemplo: la gravedad. No conservativa: el rozamiento. En b), el trabajo necesario es

W = m_3(V_P - V_O)

, con

V = -G\sum m_i/r_i

el potencial creado por las dos masas en cada punto.

Desarrollo

a) Una fuerza es conservativa cuando el trabajo que realiza al desplazar una partícula entre dos puntos

A

B

depende solo de esos puntos y no de la trayectoria seguida; equivalentemente, su trabajo a lo largo de cualquier trayectoria cerrada es nulo:

\oint \vec F\cdot d\vec r = 0

Por ello se puede asociar a cada posición una función escalar, la energía potencial

E_p

, definida de modo que el trabajo de la fuerza conservativa es igual a menos la variación de dicha energía:

W_{A\to B} = -\Delta E_p = E_p(A) - E_p(B)

Solo se definen diferencias de

E_p

, así que hay que elegir un origen (en gravitación,

E_p = 0

en el infinito, con lo que

E_p = -GMm/r

). Si solo actúan fuerzas conservativas, la energía mecánica

E_c + E_p

se conserva.

Ejemplo de fuerza conservativa: el peso o la fuerza gravitatoria (también la elástica o la electrostática).
Ejemplo de fuerza no conservativa: el rozamiento: su trabajo es siempre negativo y depende de la longitud del camino recorrido (en una trayectoria cerrada no es nulo), por lo que no admite energía potencial y disipa energía mecánica.

b) Potenciales:

En $O(0,0)$ : $r_1=2$ , $r_2=3$ → $V_O = -G\left(\dfrac2{2}+\dfrac3{3}\right) = -2G = -1{,}33\cdot10^{-10}\ \text{J kg}^{-1}$
En $P(1,0)$ : $r_1=\sqrt5=2{,}24$ , $r_2=\sqrt{10}=3{,}16$ → $V_P = -G\left(\dfrac2{2{,}24}+\dfrac3{3{,}16}\right) = -1{,}84G = -1{,}23\cdot10^{-10}\ \text{J kg}^{-1}$

El trabajo que hay que realizar (con un agente externo, sin variar la energía cinética) es igual al aumento de energía potencial de

m_3

W = \Delta E_p = m_3(V_P - V_O) = 1\cdot(-1{,}23\cdot10^{-10} + 1{,}33\cdot10^{-10}) = 1{,}05\cdot10^{-11}\ \text{J}

El trabajo realizado por el campo gravitatorio es el opuesto,

W_{\text{campo}} = -\Delta E_p = -1{,}05\cdot10^{-11}\,\text{J}

Consejo

El trabajo depende solo de la variación de potencial entre los dos puntos, no del camino (fuerza conservativa). Calcula bien las distancias a cada masa (Pitágoras) antes de sumar los potenciales.

Paso 1 de 3

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a) El periodo de rotación de Júpiter alrededor del Sol es